Forma normal de Smith de una matriz polinómica.

Question

Tengo la siguiente matriz: $P(s) :=$

\begin{bmatrix} s^2 & s-1 \\ s & s^2 \end{bmatrix}

¿Cómo se calcular la forma normal de Smith de esta matriz? Bastante yo no puedo comprender el algoritmo.

Answer 1

Siguiendo el algoritmo de Wilkinson "El algebraicas autovalor problema".

Voy a denotar la actual polinomio de la matriz como $P(\lambda)$ y sus elementos como $p_{ij}(\lambda)$, lo que significa que sus valores de cambio, con el objetivo final de tener $P(\lambda)$ en el Smith formulario.

Empezamos con

$$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda - 1 \\ \lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}.$$

Pivote $(1,2)$.

1. Elija uno de los polinomios con el grado más bajo.

   Parece que sería más fácil de recoger $p_{21}$ debido al paso 3, pero voy a ir a por $p_{12}$, como parece mostrar mejor cómo que parte se hace. Voy a hacer más adelante todo el algoritmo usando $p_{21}$ como un pivote, y vamos a ver que se hace más fácil el paso 3, pero es más complicado, más adelante.

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda^2 & \color{red}{\lambda - 1} \\ \lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}.$$

2. Intercambio de filas/columnas, de manera que el pivote viene a la posición $(1,1)$. En nuestro caso, tenemos la necesidad de intercambiar la primera y la segunda columna. Ahora tenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda - 1} & \lambda^2 \\ \lambda^2 & \lambda \end{bmatrix}.$$

3. Presente todos los polinomios en la primera fila y la primera columna (es decir, $i=1$ o $j=1$)$p_{ij}(\lambda) = p_{11}(\lambda) q_{ij}(\lambda) + r_{ij}(\lambda)$. En nuestro caso:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \color{red}{\lambda^2} \\ \color{red}{\lambda^2} & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \color{red}{(\lambda-1)(\lambda+1)+1} \\ \color{red}{(\lambda-1)(\lambda+1)+1} & \lambda \end{bmatrix}.$$

   Así, en ambos casos, tenemos a $q_{ij}(\lambda) = (\lambda+1)$$r_{ij}(\lambda) = 1$.

   Desde $r_{ij} \not\equiv 0$, tenemos que arreglar eso. Primero vamos a tratar con $r_{21}$. Nos restan $q_{21}$ veces la primera fila a partir de la segunda fila (la única en la que es nuestra $r_{21}$) y, a continuación, el intercambio de esas dos filas.

   En primer lugar, calculamos el $q_{12}$ veces la primera fila:

   $$q_{12}(\lambda) \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\lambda+1)(\lambda - 1) & (\lambda+1)\lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & \lambda^3 + \lambda^2 \end{bmatrix}.$$

   Restando a que desde la segunda fila, obtenemos

   $$\begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & \lambda^3 + \lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda \end{bmatrix}.$$

   Ahora, el intercambio con la primera fila, obtenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & -\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda \\ \lambda - 1 & (\lambda-1)(\lambda+1)+1 \end{bmatrix}.$$

   Esto se repite hasta que todos los elementos de la primera fila y la primera columna son divisibles por $p_{11}$. En nuestro caso, $p_{11} \equiv 1$, por lo que tenemos, y podemos escribir en la forma $p_{ij} = p_{11}q_{ij}$:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & \color{red}{1 \cdot (-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda)} \\ \color{red}{1 \cdot (\lambda - 1)} & (\lambda-1)(\lambda+1)+1 \end{bmatrix}.$$

4. Ahora nos resta el adecuado múltiplos de la primera fila de las filas $i=2,\dots,n$ y la correspondiente múltiplos de la primera columna de las columnas $ji=2,\dots,n$.

   Primero, vamos a encontrar el múltiplo de la primera fila, que se restará de la segunda, que denotan como ${\rm row}_2$. Desde $p_{11} \equiv 1$, podemos ver que ${\rm row}_2$ es igual a la primera fila multiplicada por $p_{21}(\lambda)$:

   \begin{align*} {\rm row}_2 &= p_{21}(\lambda) \begin{bmatrix} 1 & -\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\lambda - 1) \cdot 1 & (\lambda - 1) \cdot (-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda) \end{bmatrix} \\ y= \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -\lambda^4 + 2 \lambda^2 - \lambda \end{bmatrix}.\end{align*}

   Ahora nos resta de la actual segunda fila y la segunda columna:

   \begin{align*} \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \lambda^2 \end{bmatrix} - {\rm fila}_2 &= \begin{bmatrix} \lambda - 1 & \lambda^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -\lambda^4 + 2 \lambda^2 - \lambda \end-{bmatrix} \\ y= \begin{bmatrix} 0 & \lambda^4 - \lambda^2 + \lambda \end{bmatrix}. \\ \end{align*}

   Ahora, tenemos que tener cuidado aquí, porque acabamos de cambiar la segunda columna y no se debe trabajar con el viejo de arriba. Observar nuestro actual $P(\lambda)$:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & -\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda \\ \color{red}{0} & \color{red}{\lambda^4 - \lambda^2 + \lambda} \end{bmatrix}.$$

   Obviamente, restando la primera columna veces $(-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda)$ nos da

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & \color{red}{0} \\ 0 & \color{red}{\lambda^4 - \lambda^2 + \lambda} \end{bmatrix}.$$

5. Repita el proceso en la parte inferior derecha director submatriz de orden $n-1$. En nuestro caso, $n = 2$, por lo que el trabajo está hecho, y el Smith formulario

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \lambda^4 - \lambda^2 + \lambda \end{bmatrix}.$$

Pivote $(2,1)$.

Vamos ahora a hacer el mismo proceso, pero recogiendo $p_{21}(\lambda) = \lambda$ como el pivote en el primer paso.

1. Elija uno de los polinomios con el grado más bajo.

   Esta vez, elegimos $p_{21}$.

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda - 1 \\ \color{red}{\lambda} & \lambda^2 \end{bmatrix}.$$

2. Intercambio de filas/columnas, de manera que el pivote viene a la posición $(1,1)$. En nuestro caso, tenemos la necesidad de intercambiar la primera y la segunda fila. Ahora tenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda} & \lambda^2 \\ \lambda^2 & \lambda - 1 \end{bmatrix}.$$

3. Presente todos los polinomios en la primera fila y la primera columna (es decir, $i=1$ o $j=1$)$p_{ij}(\lambda) = p_{11}(\lambda) q_{ij}(\lambda) + r_{ij}(\lambda)$. En nuestro caso:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & \color{red}{\lambda^2} \\ \color{red}{\lambda^2} & \lambda - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & \color{red}{\lambda \cdot \lambda + 0} \\ \color{red}{\lambda \cdot \lambda + 0} & \lambda - 1 \end{bmatrix}.$$

   Así, en ambos casos, tenemos a $q_{ij}(\lambda) = \lambda$$r_{ij}(\lambda) = 0$. Esto es genial, como se puede omitir el resto de el paso 3. $\ddot\smile$

4. Ahora nos resta el adecuado múltiplos de la primera fila de las filas $i=2,\dots,n$ y la correspondiente múltiplos de la primera columna de las columnas $ji=2,\dots,n$.

   Primero, vamos a encontrar el múltiplo de la primera fila, que se restará de la segunda, que denotan como ${\rm row}_2$. Desde $p_{11}(\lambda) = \lambda$$p_{21}(\lambda) = \lambda^2$, podemos ver que ${\rm row}_2$ es igual a la primera fila multiplicada por $(p_{21}/p_{11})(\lambda) = \lambda$:

   $${\rm row}_2 = (p_{21}/p_{11})(\lambda) \begin{bmatrix} \lambda & \lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda^3 \end{bmatrix}.$$

   Ahora nos resta este de la actual segunda fila:

   $$\begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda - 1 \end{bmatrix} - {\rm row}_2 = \begin{bmatrix} 0 & -\lambda^3 + \lambda - 1 \end{bmatrix}.$$

   Nuestro actual $P(\lambda)$ es

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & \lambda^2 \\ \color{red}{0} & \color{red}{-\lambda^3 + \lambda - 1} \end{bmatrix}.$$

   Como antes, se resta de la primera columna de múltiples ahora se acaba de quitar el nonzeroes en la primera fila.

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & \color{red}{0} \\ 0 & \color{red}{-\lambda^3 + \lambda - 1} \end{bmatrix}.$$

   Ahora, esto puede parecer grande, pero aviso que $p_{11} \nmid p_{22}$, por lo que necesitamos nuevas correcciones. Esto se hace mediante la adición de la segunda fila a la primera, repitiendo el procedimiento anterior. Así, obtenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \color{red}{\lambda} & \color{red}{-\lambda^3 + \lambda - 1} \\ 0 & -\lambda^3 + \lambda - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda & \color{red}{\lambda \cdot (-\lambda^2 + 1) + (-1)} \\ \color{red}{0} & -\lambda^3 + \lambda - 1 \end{bmatrix}.$$

   Vemos que $q_{12}(\lambda) = -\lambda^2 + 1$$r_{12}(\lambda) = 1$. Tenemos que restar la primera columna veces $q_{12}(\lambda)$ a partir de la segunda columna:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & \color{red}{-1} \\ 0 & \color{red}{-\lambda^3 + \lambda - 1} \end{bmatrix}.$$

   El intercambio de estas dos, obtenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} -1 & \lambda \\ -\lambda^3 + \lambda - 1 & 0 \end{bmatrix}.$$

   Después de la eliminación de $p_{12}$, tenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} -1 & \color{red}{0} \\ -\lambda^3 + \lambda - 1 & \color{red}{-\lambda^4 + \lambda^2 - \lambda} \end{bmatrix}.$$

   A continuación, eliminamos $p_{21}$:

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{-\lambda^4 + \lambda^2 - \lambda} \end{bmatrix}.$$

5. Repita el proceso en la parte inferior derecha director submatriz de orden $n-1$. En nuestro caso, como en el anterior, $n = 2$, por lo que el trabajo está casi hecho, como hemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -\lambda^4 + \lambda^2 - \lambda \end{bmatrix}.$$

   Para que esto sea una Smith formulario, necesitamos el distinto de cero en la diagonal de polinomios a ser monic (es decir, tiene un coeficiente igual a $1$). En nuestro caso, hacemos esto mediante la multiplicación de $P(\lambda)$$-1$. En una más generale caso, tendríamos que multiplicar desde la izquierda o la derecha por una constante de la diagonal de la matriz.

   Finalmente, obtenemos

   $$P(\lambda) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \lambda^4 - \lambda^2 + \lambda \end{bmatrix}.$$

Observaciones finales

En ambos casos tenemos monic polinomios $p_{ii}$ tal que $p_{11} \mid p_{22}$, y el grado de $(p_{11} \cdot p_{22})(\lambda)$ $4 = 2 \cdot 2 = l \cdot n$ donde $n$ es el orden de la matriz y $l$ es el grado de $P$, como debe ser. Esto es debido al hecho de que $\det P(\lambda)$ se mantuvo sin cambios (en un caso más general, se podría obtener multiplicando por un factor constante, con el fin de obtener los polinomios en la diagonal para convertirse en monic).

He descartado toda la información acerca de las transformaciones. Si uno es mantener que, la fila de las transformaciones se pone en $E(\lambda)$, y de las transformaciones de columna se pone en $F(\lambda)$, para obtener

$$E(\lambda) P_{\text{starting}}(\lambda) F(\lambda) = P_{\text{final}}(\lambda).$$

donde

$$ E(\lambda)=\begin{bmatrix}-1& 1 + \lambda - \lambda^2\\ -\lambda& -1 + \lambda + \lambda^2 - \lambda^3\end{bmatrix}$$

y

$$ F(\lambda)=\begin{bmatrix}1 - \lambda& -1 + \lambda - \lambda^2 - \lambda^3 + \lambda^4\\ 1& \lambda - \lambda^3\end{bmatrix}$$