Descomposición de un producto del tensor de representaciones de álgebra de mentira en realizar

Question

Supongamos que estamos dado el producto del tensor de dos representaciones dimensionales finitos (irreducibles) de una álgebra de mentira compleja simple. Me gustaría saber más sobre cómo descompone en una suma directa de representaciones irreducibles.

¿Puede alguien me refiere a la literatura relevante?

Answer 1

En todos los generalidad es el siguiente método básico: calcular la (formal) de los caracteres de cada representación (el uso de Weyl el carácter de fórmula o de Freudenthal recursiva peso de la multiplicidad de la fórmula), se multiplican los dos para encontrar el carácter del producto tensor, luego repetidamente tomar un más alto (restante) de peso en el carácter, restar off (múltiples apropiado de) el carácter de la correspondiente irreductible mayor peso de la representación después de haber contribuido al resultado, y así sucesivamente hasta que no queda nada del personaje.

Hay un método mejor que las necesidades a desarrollar sólo el carácter completo de uno de los dos factores que se multiplican; el resultado se multiplica por el peso más alto (sólo) de el otro factor. El resultado es un no $W$-simétrica formal de la suma de pesos; cualquier no-dominante contribuciones en el cual se hacen más dominante (o aniquilado) anti-reflejo en la raíz simple de hyperplanes desplaza hacia abajo. Esto significa que la parte no dominante de pesos $\mu$ $\langle\mu,\alpha_i^\vee\rangle=-1$ se encuentran uno el pasado hyperplane y son aniquilados; los pesos más abajo con respecto a $\alpha_i^\vee$ se refleja en que el desplazado hyperplane y su coeficiente reemplazado por su opuesto. Después de repetir estas operaciones lo suficientemente a menudo, todos los restantes término se ha convertido en dominante, y representa una componente irreducible de que el producto tensor.

También hay una fórmula general, el uso de Littelmann caminos, o Lakshmibai-Seshadri caminos (que son casos particulares), que son técnicas relacionadas con el cristal de los gráficos. Son algo más difíciles de aplicar en general, pero para los tipos clásicos hay casos especiales que pueden ser implementadas de manera eficiente, tales como la Littelwood-Richardson regla en el tipo de $A_n$.