Integral de la matriz exponencial

Question

Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ matriz. Entonces la solución del problema de valor inicial \begin{align*} \dot{x}(t) = A x(t), \quad x(0) = x_0 \end{align*} viene dada por $x(t) = \mathrm{e}^{At} x_0$ .

Me interesa la siguiente matriz \begin{align*} \int_{0}^T \mathrm{e}^{At}\, dt \end{align*} para algunos $T>0$ . ¿Se puede escribir una solución general para esto sin distinguir los casos (por ejemplo $A$ no singulares)?

¿Esta matriz es siempre invertible?

Answer 1

Caso I. Si $A$ es no singular, entonces $$ \int_0^T\mathrm{e}^{tA}\,dt=\big(\mathrm{e}^{TA}-I\big)A^{-1}, $$ donde $I$ es la matriz de identidad.

Caso II. Si $A$ es singular, entonces usando la forma de Jordan podemos escribir $A$ como $$ A=U^{-1}\left(\begin{matrix}B&0\\0&C\end{matrix}\right)U, $$ donde $C$ es no singular, y $B$ es estrictamente triangular superior. Entonces $$ \mathrm{e}^{tA}=U^{-1}\left(\begin{matrix}\mathrm{e}^{tB}&0\\0&\mathrm{e}^{tC} \end{matrix}\right)U, $$ y $$ \int_0^T\mathrm{e}^{tA}\,dt=U^{-1}\left(\begin{matrix}\int_0^T\mathrm{e}^{tB}dt&0\\0&C^{-1}\big(\mathrm{e}^{TC}-I\big) \end{matrix}\right)U $$ Pero $\int_0^T\mathrm{e}^{tB}dt$ pueden tener expresiones diferentes. Por ejemplo, si $$ B_1=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}\right), \quad B_2=\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right), $$ entonces $$ \int_0^T\mathrm{e}^{tB_1}dt=\left(\begin{matrix}T&0\\0&T\end{matrix}\right), \quad \int_0^T\mathrm{e}^{tB_2}dt=\left(\begin{matrix}T&T^2/2\\0&T\end{matrix}\right). $$

Answer 2

La fórmula general es la serie de potencias

$$ \int_0^T e^{At} dt = T \left( I + \frac{AT}{2!} + \frac{(AT)^2}{3!} + \dots + \frac{(AT)^{n-1}}{n!} + \dots \right) $$

Tenga en cuenta que también

$$ \left(\int_0^T e^{At} dt \right) A + I = e^{AT} $$

siempre se satisface.

Una condición suficiente para que esta matriz sea no singular es el llamado Teorema de Kalman-Ho-Narendra, que establece que la matriz $\int_0^T e^{At} dt$ es invertible si

$$ T(\mu - \lambda) \neq 2k \pi i $$

para cualquier número entero no nulo $k$ , donde $\lambda$ y $\mu$ son cualquier par de valores propios de $A$ .

Nota para los interesados: Esta matriz también proviene de la discretización de un sistema continuo lineal invariante en el tiempo. También se puede decir que la controlabilidad se preserva bajo la discretización si y sólo si esta matriz tiene una inversa.

Answer 3

La forma en que me gusta hacerlo se basa en la siguiente observación: dejemos $$ \bar{A} := \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, $$

donde $0$ es la matriz cero (dimensiones s.t. $\bar{A}$ es cuadrado). Entonces, $$ \mathrm{e}^{\bar{A}t} = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{At} & \int_0^t\mathrm{e}^{A\tau}\mathrm{d}\tau B \\ 0 & I \end{bmatrix}. $$

Por lo tanto, para la integral basta con construir esta matriz de bloques con $B=I$ , calcular la matriz exponencial de la misma, y luego extraer el bloque superior derecho. En una forma más "cerrada": $$ \int_0^t\mathrm{e}^{A\tau}\mathrm{d}\tau B = \begin{bmatrix}I & 0\end{bmatrix}\mathrm{e}^{\bar{A}t}\begin{bmatrix}0 \\ I\end{bmatrix}. $$

La ventaja de este método con respecto a la utilización de la inversión de la matriz y/o la forma de Jordan es que este método es numéricamente estable incluso cuando $A$ es singular (o casi). La desventaja, por supuesto, es que toma una matriz 4 veces mayor como entrada.

Por qué funciona

De esta observación se deduce que si se tiene la EDO no homogénea $$ \dot{X}(t) = AX(t) + B, $$ su solución es $$ X(t) = \mathrm{e}^{At}X(0) + \int_0^t\mathrm{e}^{A\tau}\mathrm{d}\tau B. $$

Definir la variable auxiliar $U(t)$ que es constante (es decir, $U(t) = U(0)$ para todos los positivos $t$ ). Entonces $\dot{U}(t) = 0$ y tenemos el sistema de EDOs \begin{align*} \dot{X}(t) &= AX(t) + BU(t), \\ \dot{U}(t) &= 0, \end{align*}

que es una EDO homogénea en la variable aumentada $\begin{bmatrix} X(t) \\ U(t) \end{bmatrix}$ . Por lo tanto, tenemos

$$\begin{bmatrix} \dot{X}(t) \\ \dot{U}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {X}(t) \\ {U}(t) \end{bmatrix} = \bar{A}\begin{bmatrix} {X}(t) \\ {U}(t) \end{bmatrix}$$ cuya solución es $$\begin{bmatrix} {X}(t) \\ {U}(t) \end{bmatrix} = \mathrm{e}^{\bar{A}t}\begin{bmatrix} {X}(0) \\ {U}(0) \end{bmatrix},$$

pero también,

$$\begin{bmatrix} {X}(t) \\ {U}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{At}X(0) + \int_0^t\mathrm{e}^{A\tau}\mathrm{d}\tau BU(0) \\ U(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{At} & \int_0^t\mathrm{e}^{A\tau}\mathrm{d}\tau B \\ 0 & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X(0) \\ U(0) \end{bmatrix}.$$

Answer 4

Una respuesta numérica de Python

Es sorprendentemente difícil para encontrar un paquete python adecuado para la integración numérica de la matriz. Sé que no es lo que la pregunta quiere, pero no puedo encontrar ningún otro lugar para publicar esto.

Aquí, proporciono una solución numérica para ello. Basta con llamar a la función

intergral_result = compute_exp_matrix_intergration(A,T)

será suficiente

import numpy as np
def compute_exp_matrix_intergration(A,T,nbins=100):
    f = lambda x: expm(A*x)
    xv = np.linspace(0,T,nbins)
    result = np.apply_along_axis(f,0,xv.reshape(1,-1))
    return np.trapz(result,xv)

Answer 5

Otra implementación de Python

Aquí hay otra implementación en Python, por si le puede servir a alguien... (y ya que la respuesta de ArtificiallyIntelligence devuelve un error en mi configuración). El valor de la integral es integral y la última línea verifica la igualdad $\int_0^T e^{At}dt = A^{-1}(e^{tA}-I)$ , siempre y cuando $A$ es no singular (que es el caso genérico de las matrices generadas aleatoriamente).

import numpy as np
N = 5
t = 1
A = np.random.rand(N,N)
taylor = t*np.array([np.linalg.matrix_power(A*t,k)/np.math.factorial(k+1) for k in range(50)])
integral = taylor.sum(axis = 0)

print np.linalg.norm(integral - np.dot(np.linalg.inv(A),scipy.linalg.expm(t*A)-np.identity(N)))

Tenga en cuenta que debe ajustar el 50 en taylor = ... para comprobar la convergencia.