Caminos $S_3$ puede actuar sobre un conjunto de 4 elementos.

Question

Describa todas las formas en que $S_3$ puede operar sobre un conjunto de cuatro elementos.

Mi enfoque : Esta pregunta se puede desglosar en: ¿Cuántos homomorfismos existen de $S_3$ a $S_4$ . Diga $\varphi : S_3 \to S_4$ es un homomorfismo. Entonces tenemos tres posibilidades para $\text{ker }\varphi$ : $\{1\}, \{1, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ y $S_3$ .

El caso en el que $\text{ker }\varphi = S_3$ es el homomorfismo trivial que mapea todo a la identidad.

Ahora bien, el caso en el que $\text{ker }\varphi = \{1\}$ es lo mismo que decir que los mapeos son inyectivos. Esto se reduce a elegir tres de los cuatro elementos y permutarlos y dejar el cuarto fijo. Hay $\binom43 = 4$ formas de hacerlo.

Diga $\text{ker }\varphi = \{1, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ . Esto significa que $\varphi((1)) = \varphi((1\ 2\ 3)) = \varphi((1\ 3\ 2)) = (1)$ . Además, podemos observar inmediatamente las dos propiedades siguientes:

1. $\varphi((1\ 2\ 3)) = \varphi((1\ 3))\varphi((1\ 2)) = (1)$ . Equivalentemente $\varphi((1\ 2)) = \varphi((1\ 3))$ .
2. $\varphi((1\ 3\ 2)) = \varphi((1\ 3))\varphi((2\ 3)) = (1)$ . Equivalentemente $\varphi((1\ 3)) = \varphi((2\ 3))$ .

y por lo tanto $\varphi((1\ 2)) = \varphi((1\ 3)) = \varphi((2\ 3))$ . Pero sabemos por propiedades de los homomorfismos que $\vert \varphi((1\ 3)) \vert \mid \vert (1\ 3) \vert = 2$ . Así que $\vert \varphi((1\ 3)) \vert$ es 1 o 2. Pero si el orden de $\varphi((1\ 3))$ fuera 1 estaría en el núcleo, lo que sería una contradicción con el núcleo que elegimos, por lo que debe ser 2. Podemos mapear $(1\ 3)$ a cualquier ciclo de 2 en $S_4$ de los cuales hay 6, así como cualquier producto de 2 ciclos disjuntos, de los cuales hay 3. Por lo tanto, tenemos 9 posibles mapeos homomórficos dado este núcleo.

Sumando todos los posibles homomorfismos de $S_3$ a $S_4$ que hemos contado, obtenemos 14 formas diferentes en las que $S_3$ puede actuar sobre cuatro elementos, como se ha descrito anteriormente.

¿Esto es correcto ? ¿Existen 14 homomorfismos de $S_3$ a $S_4$ ? ¿Es correcto mi razonamiento? ¿O hay alguna suposición oculta que he hecho y que no debería haber hecho?

Answer 1

Para el núcleo "mediano" $\{1,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}$ se podría simplemente observar que tal operación es efectivamente equivalente a una operación fiel $S_3/\ker \phi\cong S_2$ . Y sí, tal operación se da exactamente eligiendo un elemento de orden dos en $S_4$ .

Sin embargo, no me satisface su argumento del núcleo trivial, es decir, que una inyección $S_3\to S_4$ significa automáticamente que un punto es fijo. Por ejemplo, con seis en lugar de cuatro elementos esto no sería obviamente cierto: Una forma de operar sería realizar las mismas permutaciones en los primeros y en los tres últimos elementos. Con cuatro elementos como los que se dan aquí, tienes razón, ¡pero hay que demostrarlo! ( Una pista: Considere el funcionamiento de un ciclo de 3). Además, la mera selección de tres de los cuatro elementos no determina de forma única la operación. En última instancia, debería encontrar 24 en lugar de 4 operaciones fieles.

---

Después de tantos comentarios empecemos de nuevo a contar todos los homomorfismos $f\colon S_3\to S_4$ . Tenga en cuenta que $S_3$ es generado por $\sigma =(1\,2)$ y $\tau=(1\,2\,3)$ Por lo tanto $f$ ya está determinada si sabemos $f(\sigma)$ y $f(\tau)$ . El orden de $f(\tau)$ debe ser un divisor del orden de $\tau$ es decir, o bien $f(\tau)=1$ o $f(\tau)$ es uno de los 8 elementos de orden 3 en $S_4$ . De la misma manera, $f(\sigma)=1$ o es uno de los 9 elementos de orden 2.

(i) Si $f(\tau)=1$ nada restringe nuestra elección para $f(\sigma)$ Así que nos encontramos con $10$ homomorfismos de este tipo.

(ii) Si $f(\tau)$ es de orden tres, digamos $f(\tau)=(a\,b\,c)$ , entonces nuestra elección para $f(\sigma)$ está algo restringido porque $\sigma\tau=(2\,3)$ es de orden 2. Esto prohíbe directamente $f(\sigma)=1$ . Si $f(\sigma)$ afecta al cuarto elemento $d$ , entonces wlog. $f(\sigma)(d)=a$ y por lo tanto $f(\sigma\tau)(d)=b$ . Por lo tanto, debemos tener $f(\sigma\tau)(b)=d$ es decir $f(\sigma)(c)=d$ . Pero si $f(\sigma)$ permuta $c\mapsto d\mapsto a$ no puede ser de orden 2. Por lo tanto, $f(\sigma)$ simplemente es una permutación de orden dos del conjunto $\{a,b,c\}$ . Wlog. $f(\sigma)=(a\,b)$ . Tenemos 4 opciones para $d$ (el punto fijo) y luego 3 opciones para $c$ (el otro punto fijo de $f(\sigma)$ ), dos opciones para $a$ (la imagen de $c$ en $f(\tau)$ ). (Y de hecho cualquier elección de este tipo es válida: Simplemente sustituimos los elementos $1, 2, 3$ con $a, b, c$ en ese orden y dejar $d$ fija, por lo que se trata esencialmente de la operación canónica de $S_3$ en $\{1,2,3\}$ ). Por lo tanto, hay exactamente $24$ homomorfismos de este tipo.

Answer 2

Trabajamos en cambio en términos de las representaciones de permutaciones correspondientes (homomorfismos) $\phi: S_3\to S_4$ . Para evitar confusiones, trabajamos con $S_3(\{1,2,3\})$ y $S_4(\{a,b,c,d\})$ . Sea $x = (1,2)$ y $y = (1,2,3)$ para que $$x^2=y^3=1,\text{ }y^2 = (1,3,2),\text{ }xy = (2,3) = yx^2,\text{ }xy^2 = (1,3) = yx.$$

Por el Primer Teorema de Isomorfismo, $\text{Ker}\,\phi$ es normal en $S_3$ y $\text{Im}\,\phi \cong S_3/\text{Ker}\,\phi$ con isomorfismo $\phi(g\text{Ker}\,\phi) = \phi(g)$ . Pero $$yxy^{-1} = xy^2y^{-1} = xy\ne 1,\,x,$$ así que $S_3$ no tiene subgrupos normales de orden $2$ y $\text{Ker}\,\phi$ debe ser uno de $\{1\}$ , $A_3$ , $S_3$ .

Si $\text{Ker}\,\phi = S_3$ entonces $$\text{Im}\,\phi\cong S_3/S_3\cong S_1,$$ así que $\phi$ es el homomorfismo trivial, es decir, siempre mapea a $(a)(b)(c)(d)$ .

Si $\text{Ker}\,\phi = A_3$ entonces $$\text{Im}\,\phi\cong S_3/A_3\cong S_2,$$ $$\phi(1)=\phi(y)=\phi(y^2) = (a)(b)(c)(d),$$ mientras que $$\phi(x)=\phi(xy)=\phi(xy^2)$$ tiene orden $2$ y tiene la forma $(p,q)$ o $(p,q)(r,s)$ para distintos $p,q,r,s\in\{a,b,c,d\}$ .

Si $\text{Ker}\,\phi = \{1\}$ entonces $$\text{Im}\,\phi\cong S_3/\{1\} \cong S_3.$$ Así que $\phi(x)$ tiene la forma $(p,q)$ o $(p,q)(r,s)$ y $\phi(xy)$ tiene la forma $(p',q')$ o $(p',q')(r',s')$ . Sin pérdida de generalidad, $p' = p$ .

• Si $\phi(x) = (p,q)$ y $\phi(xy) = (p,q')$ entonces $q\ne q'$ o bien $$\phi(y) = \phi(x)\phi(xy) = (p,q)(p,q')$$ se convierte en la identidad, por lo que $\phi(y) = (q,p,q')$ . Porque $\phi(x) = (q,p)$ , $\phi$ simplemente mapas $\pi\in S_3(\{1,2,3\})$ a la permutación correspondiente con $1$ , $2$ , $3$ sustituido por $q$ , $p$ , $q'$ respectivamente.
• Si $\phi(x) = (p,q)$ y $\phi(xy) = (p,q')(r',s')$ (o al revés; estos dos casos son intercambiables al "cambiar" $1$ y $3$ ya que $x$ , $xy$ son ambas transposiciones), entonces $q\ne q'$ o bien $$\phi(y) = \phi(x)\phi(xy) = (p,q)(p,q')(r',s')$$ se convierte en una transposición y tiene orden $2$ en lugar de $3$ así que, sin pérdida de generalidad, supongamos $r' = q$ . Pero entonces $$\phi(y) = (q,p,q')(q,s') = (q,s',p,q')$$ tiene orden $4$ en lugar de $3$ , por lo que este caso es imposible.
• Si $\phi(x) = (p,q)(r,s)$ y $\phi(xy) = (p,q')(r',s')$ entonces $q\ne q'$ o bien $\{r,s\} = \{r',s'\}$ y $\phi(x)=\phi(xy)$ fuerzas $\phi(y)$ para ser la identidad. Sin pérdida de generalidad, supongamos $q' = r$ Así que $\{r',s'\} = \{q,s\}$ significa $\phi(xy) = (p,r)(q,s)$ . Así, $$\phi(y) = (p,q)(r,s)(p,r)(q,s) = (p,s)(q,r)$$ tiene orden $2$ en lugar de $3$ Por lo tanto, este caso también es imposible.

Observación. La única permutación "inesperada" aquí es $\phi$ tomando transposiciones a $(a, b)(c, d)$ (o $(a, c)(b, d)$ o $(a, d)(b, c)$ ) y otros elementos a la identidad $(a)(b)(c)(d)$ .