Adjunta para el functor que anillos boleanos

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con elemento unidad, entonces uno puede asociar a $R$ un anillo Booleano $B(R)$, como en este texto de Bergman, la última línea de la página 594. (Supongo que esta es una muy clásico cosa. Explícitamente, $B(R)$ es el conjunto de idempotente elementos de $R$ con las operaciones de $e \oplus f = e + f - 2ef$ y la multiplicación heredado de $R$.) Bergman muestra que el functor $R \mapsto B(R)$ tiene un adjunto a la izquierda - la que cabría esperar. Sospecho que no tienen derecho adjuntos, pero no veo cómo probar esto (si es verdad).

Todas las ideas serán bienvenidas!

Answer 1

Voy a hacer uso de Hurkyl del comentario anterior. Si este functor tiene derecho adjoint, entonces debe preservar colimits, y en particular, debe enviar co-productos de co-productos. Este no es el caso, por lo que el functor no tiene derecho adjuntos.

El subproducto en la categoría de anillos conmutativos es bien conocido por ser el producto tensor $-\otimes_{\mathbb{Z}}-$, que de ahora en adelante voy a escribir como $-\otimes-$. Esto tiene el gracioso de la propiedad que el subproducto de dos distinto de cero anillos puede ser cero. Un famoso ejemplo, si $R = \mathbb{Z}/(2)$$S = \mathbb{Z}/(3)$,$R \otimes S = 0$. Por lo tanto $B(R \otimes S)$ es la trivial Booleano anillo, en el que $0 = 1$.

Por otro lado, debido a $R$ $S$ son campos en los que se sigue que el $B(R)$ $B(S)$ son tanto (isomorfo a) $\mathbb{Z}/(2)$. Debido a $\mathbb{Z}/(2)$ es el objeto inicial en la categoría de anillos Booleanos, el subproducto de $B(R)$ $B(S)$ en esta categoría visto fácilmente a ser $\mathbb{Z}/(2)$ una vez más.

Así que el functor $B$ que se aplica a la subproducto de estos anillos de $R$ $S$ no es isomorfo a la subproducto de los anillos Booleanos $B(R)$$B(S)$.