La parametrización diofantina, puede sustituir $5$ por algún otro número?

Question

Estoy leyendo un artículo que dice que las soluciones de este sistema diofantino se pueden parametrizar (sistema y parametrización abajo): $$u^2 - 5x^2 = y^2, \quad u^2 - x^2 = v^2.$$ Dicen que toda solución es de la forma $$u = p^2 + 5q^2, \quad x = 2pq,$$$$ u = m^2 + n^2, \quad x = 2mn.$$ (La segunda es sólo la parametrización pitagórica.) Pero sólo dicen que esto viene de "métodos expuestos en los libros de texto de teoría de números estándar".

Me interesa saber si la parametrización se mantiene si sustituimos $5$ por algún otro número. Pero no puedo encontrar una referencia para la prueba.

¿Alguna forma de probar esto/algún libro al que me puedas dirigir?

Gracias.

Answer 1

Se trata de dos ecuaciones distintas, y las dos soluciones dadas son básicamente correctas. Para la primera, $y=(p^2-5q^2)$ La segunda, como usted dice, es sólo una tripa pitagórica, pero $x$ podría ser también $m^2-n^2$ En cuanto a "se puede sustituir el 5", en los tres lugares, para la primera ecuación, ¿por qué no probar y ver?

Actualización 17/9/2016 Para demostrar que la solución paramétrica de la primera ecuación es la dada basta con calcular $$(p^2+5q^2)^2-(p^2-5q^2)^2-5(2pq)^2$$ para mostrar que es $0$

Del mismo modo, cuando se sustituye 5 por $w$ $$(p^2+wq^2)^2-(p^2-wq^2)^2-w(2pq)^2 = 0$$ (Lo siento, no puedo encontrar el código idéntico).

Como es una ecuación homogénea, podemos añadir un factor lineal, dando una solución paramétrica a $u^2-wx^2=y^2$ como $$y = k(p^2+wq^2)$$ $$u = k(p^2-wq^2)$$ $$x = 2kpq$$

La prueba es larga, básicamente asumiendo una solución $(a,b,c)$ a $u^2-wx^2=y^2$ entonces mostrarlo lleva a este resultado.

La demostración de la fórmula triple pitagórica se da, por ejemplo, en Number Theory, J Hunter, Oliver & Boyd, 1964.

Answer 2

En lugar de utilizar "los métodos expuestos en los libros de texto estándar de teoría de números" (¿tal vez a lo largo de la determinación habitual de los triples pitagóricos?), y debido a que sus ecuaciones diofantinas son homogéneas en $x, y, u, v$ prefiero poner $X = x/u, Y = y/u, V = v/u$ . Entonces el sistema original es equivalente al siguiente sistema de dos ecuaciones racionales $ V^2 + X^2 = 1 , Y^2 + 5X^2 = 1$ que puede resolverse fácilmente utilizando la teoría de Galois, más concretamente el teorema 90 de Hilbert: en una extensión cíclica de campos $L/K$ los elementos de $L$ que tienen norma $1$ son exactamente de la forma $z/s(z)$ , donde $s$ es un generador de $Gal(L/K)$ .

La primera ecuación anterior dice $N(V + iX) = 1$ , donde $N$ es la norma de la extensión cuadrática $\mathbf Q(i)/\mathbf Q$ con $i^2 = -1$ . Se puede aplicar el 90 de Hilbert, tomando $s$ = conjugación compleja. Por mera identificación, se obtiene $u = m^2 + n^2 , v = m^2 - n^2 , x = 2mn$ . Del mismo modo, aplicando el 90 de Hilbert a $\mathbf Q(\sqrt-5)/\mathbf Q$ se obtiene $u = p^2 + 5q^2 , y = p^2 - 5q^2 , x = 2pq$ , tal y como se ha anunciado. Así que la respuesta a tu pregunta es SÍ, se puede aplicar el mismo método para obtener el mismo tipo de parametrización cuando se sustituye el 5 por cualquier número entero positivo.