¿Qué significa exactamente que una función esté "bien llevada"?

Question

A menudo en mis estudios (economía) se invoca el supuesto de una función "bien comportada". No sé exactamente qué implica eso (creo que la diferenciabilidad doblemente continua es uno de los requisitos), ni sé por qué es necesario (aunque imagino que el por qué dependerá de cada caso).

Puede alguien explicármelo, y si hay una explicación del por qué también, se lo agradecería. Gracias.

EDITAR : Por poner un ejemplo en el que aparece el término, véase esta entrada de Wikipedia sobre las funciones de utilidad, que dice en un punto

Para simplificar los cálculos se han hecho varias suposiciones de funciones de utilidad.

CES (elasticidad de sustitución constante, o isoelástica) utilidad
Utilidad exponencial
Utilidad cuasilineal
Preferencias homotéticas

La mayoría de las funciones de utilidad utilizadas en la modelización o en la teoría son buen comportamiento . Suelen ser monótonas, casi cóncavas, continuas y globalmente no saturados.

Puede que me equivoque, pero no creo que "bien comportado" signifique monótono, cuasi cóncavo, continuo y globalmente no saturado. ¿Qué hay de dos veces diferenciable?

Answer 1

En las ciencias (a diferencia de las matemáticas), la gente suele ser un poco vaga en cuanto a las suposiciones que hace sobre el "buen comportamiento" de las cosas. La razón es que, en última instancia, estas teorías están hechas para ser puestas a prueba, así que para qué preocuparse de las propiedades exactas que se asumen cuando lo que importa son las funciones que surgen en la vida real y que probablemente van a satisfacer todas las suposiciones.

Esto es particularmente omnipresente en la física, donde es extremadamente común hacer suposiciones heurísticas sobre el buen comportamiento.

Incluso en matemáticas lo hacemos a veces. Cuando la gente dice que algo es cierto para n suficientemente grande, a menudo no se molestan en escribir exactamente qué tamaño es suficientemente grande, siempre y cuando esté claro por el contexto cómo calcularlo. Del mismo modo, en un artículo de economía se podría leer el argumento y averiguar exactamente qué supuestos se necesitan, pero resulta más fácil de leer decir simplemente "bien hecho".

Answer 2

La respuesta corta es que no hay un significado "exacto". Lo ideal es que se introduzcan axiomas adicionales para garantizar que una determinada función (o cualquier objeto matemático, en realidad) se "comporta bien", lo que, en efecto, facilita el análisis. Por tanto, el significado de "buen comportamiento" debería derivarse de esos axiomas adicionales específicos.

Answer 3

En general, pensamos que las funciones que se comportan bien son más sencillo de alguna manera. En cualquier campo, es posible que queramos limitarnos a considerar sólo las funciones que se comportan bien para evitar tener que lidiar con casos de borde desagradables. Y en cada uno de estos ámbitos, la comunidad es libre de elegir la definición de "buen comportamiento" que más le convenga. Un rápido vistazo a la enlace wiki que e.James publicó le mostrará la diversidad de ideas sobre lo que significa ser bien educado. No soy economista, así que daré por sentado que la definición que usted plantea en su pregunta es la de uso común.

Puedo ver dos veces diferenciable como un requisito razonable para que una función de utilidad se "comporte bien" es porque la derivada de la función de utilidad es la utilidad marginal, y los economistas suelen preocuparse por la derivada de la utilidad marginal. Por ejemplo, si la segunda derivada de la utilidad es negativa, significa que la utilidad marginal tiene una derivada negativa, es decir, que una cantidad adicional del bien o servicio no añade utilidad tan rápidamente. También se denomina comúnmente rendimiento decreciente.

Si queremos poder tomar la derivada aunque sea una vez, por supuesto, necesitamos que la función sea continuo . Probablemente no tengas que preocuparte por la definición formal en este caso. La prueba del lápiz debería funcionar bien.

El requisito de que la utilidad sea monótona significa que siempre está aumentando o disminuyendo. En otras palabras, que un determinado bien o servicio es deseable o no. Si 10 aparatos eran buenos, 20 deben ser mejores. Por supuesto, como ya se ha dicho, puede que no que mucho mejor.

Monotónico significa que también será cuasi-cóncavo . (Salvo cosas raras como una función plana) Es decir, tienen como mucho un máximo local. Preferimos que las funciones sean cuasicóncavas porque queremos evitar casos como el siguiente. Es mucho más fácil optimizar cuando sólo hay que preocuparse de un posible máximo.

Globalmente no saciado alguien más puede hablar. No sé lo suficiente como para estar seguro de que no te estaré engañando más.

Answer 4

En la aplicación práctica del análisis matemático, la condición más útil de "buen comportamiento" de una función sería Continuidad de Lipshitz . Esto garantiza que las variaciones de una función no sean demasiado salvajes. La consecuencia más importante es que las ecuaciones diferenciales tendrán una solución única. En todo tipo de modelización de situaciones naturales y físicas se utilizan ecuaciones diferenciales, y es valioso saber de forma abstracta que tendrían soluciones en algunas condiciones domesticadas. Dado este teorema, uno puede concentrarse exclusivamente en encontrar las soluciones.