Dado que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{5}$ y $abc = 5$ , resuelve para $a^3 + b^3 + c^3$

Question

Hace poco me encontré con esta pregunta y he estado atascado durante un tiempo. Se agradece cualquier ayuda.

P: Dado que $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{5} \tag{1} \label{eq:1}$$ $$abc = 5 \tag{2} \label{eq:2}$$ Encuentre $a^3 + b^3 + c^3$ . No se especificaba en la pregunta pero creo que se puede asumir que $a, b, c$ son números reales.

Mi enfoque: $$ ab + ac + bc = \frac{1}{5} abc = 1 $$ $$ a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 - 3[(a + b + c)(ab + ac + bc) - abc] $$ $$ a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3 - 3(a+b+c) + 15 $$ A partir de ahí, no estoy seguro de cómo resolver para $a + b + c$ . Otra cosa que probé fue dejar que $x = \frac{1}{a}, y = \frac{1}{b}, z = \frac{1}{c}$ , por lo que obtenemos $$ xyz = x + y + z = \frac{1}{5} $$ Del mismo modo, no estoy seguro de cómo continuar a partir de ahí.

Answer 1

Como sospecha DanielV, la pregunta está efectivamente mal planteada: hay múltiples resultados posibles para $a^3 + b^3 + c^3$ . En primer lugar, observe que si $a$ , $b$ y $c$ son positivos, entonces para que (1) se cumpla, cada uno de ellos debería ser mayor que 5. Pero esto resulta en una contradicción para (2). Se deduce que al menos uno debe ser negativo, pero entonces (2) da que al menos dos de $a,b,c$ debe ser negativo. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a > 0$ y $b, c < 0.$

Desde $$\frac 1 b = \frac 1 5 - \frac 1 c - \frac 1 a,$$ encontramos $$\frac{5}{ac} = b = \frac{1}{\frac 1 5 - \frac 1 c - \frac 1 a} = \frac{5ac}{ac-5a-5c},$$ para que $ (ac)^2 = ac - 5a - 5c.$ Resolviendo esta igualdad cuadrática para $c$ da $$c = \frac {a-5}{2a^2} \pm\frac{\sqrt{(5-a)^2 - 20a^3}}{2a^2}.$$ Por simetría, la misma igualdad se debería mantener para $b$ , $$b = \frac {a-5}{2a^2} \pm\frac{\sqrt{(5-a)^2 - 20a^3}}{2a^2}.$$ Suponiendo que $b$ y $c$ no son ambos iguales, podemos tomar $b$ con el signo + y $c$ con el signo menos. Para todos los valores de $a$ para el que el argumento de la raíz cuadrada es no negativo, las opciones anteriores para $b$ y $c$ resolver el sistema establecido. Se puede comprobar que diferentes elecciones de $a$ y las opciones correspondientes para $b$ y $c$ de los resultados para $a^3 + b^3 +c^3$ .

Antes hemos asumido que $b \neq c$ . También podemos suponer que $b = c$ que da las ecuaciones $a b^2 = 5$ y $ \frac 1 a + \frac 2 b = \frac 1 5$ , lo que da lugar a la igualdad cúbica $-b^3 - 10 + b = 0$ . Esto puede resolverse para dar (aproximadamente) $b = c = -2.30891$ y $a = 0.937901$ , dando lugar a otro valor para $a^3 + b^3 + c^3$ .

Answer 2

Dejemos que $k$ sea una constante real arbitraria y $a$ , $b$ , $c$ sean las raíces de la ecuación cúbica $x^3-kx^2+x-5=0$ . Entonces tenemos $ab+bc+ca=1$ y $abc=5$ . Además, tenemos $a+b+c=k$ .

$$a^3+b^3+c^3=k(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)+15=k(a+b+c)^2-2k(ab+bc+ca)-(a+b+c)+15=k^3-2k-k+15=k^3-3k+15$$

Dado que hay infinitas posibilidades $k$ tal que $x^3-kx^2+x-5=0$ tiene 3 raíces reales, el problema tiene infinitas respuestas posibles.