Medidas de Borel en $\mathbb{R}$ que satisfagan $\mu(A)=\mu(\bar{A})$ por cada $A$

Question

Describir todas las medidas de Borel $\mu : B(\mathbb{R})\rightarrow [0, \infty])$ que satisfagan $\mu(A)=\mu(\bar{A})$ por cada $A$ . ( $\bar{A}$ es el cierre de $A$ ).

Bueno, hay varios resultados que ya tengo pero ninguno de ellos resolvió realmente la pregunta. En primer lugar, $\mu(\mathbb{Q})=\mu(\mathbb{R}-\mathbb{Q})=\mu(\mathbb{R})$ así que $\mu(\mathbb{R})$ es $0$ o $\infty$ .

El $0$ es trivial. El otro caso, sin embargo, es mucho más interesante. El principal truco que he utilizado ahora es tratar con conjuntos que son secuencias, donde el cierre contiene el límite: $\overline{\left \{ a_n : n\in\mathbb{N} \right \}}={\left \{ a_n : n\in\mathbb{N} \right \} }\cup \left \{ \lim a_n \right \}$

Esto me permitió demostrar los siguientes resultados (puedes utilizarlos, por supuesto, pero me llevará mucho tiempo explicarlos todos):

Llamemos a un número real $x$ "pesado" si $\mu(\left \{ x \right \})>0$ . entonces:

• El conjunto de racionales pesados es infinito.
• Si $x$ es pesado, entonces cualquier conjunto abierto que contenga $x$ tiene medida $\infty$ .

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Buena pregunta. He aquí una primera observación: cada subconjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ tiene un subconjunto denso contable $B\subseteq A$ y luego $\mu(B)\leq \mu(A)\leq \mu(\overline{B})$ fuerzas $\mu(A)=\mu(B)=\sum_{b\in B}\mu(\{b\})$ . De ello se desprende que, de hecho $$\mu(A)=\sum_{a\in A}\mu(\{a\})$$ para cualquier conjunto $A$ . Es decir, $\mu$ es una "medida de recuento ponderada", ponderada por alguna función $f:\mathbb{R}\to[0,\infty]$ tal que $\mu(\{x\})=f(x)$ .

Sin embargo, $f$ no puede ser cualquier función. De hecho, siguiendo su idea de utilizar secuencias, siempre que $(x_n)$ es una secuencia de puntos distintos que convergen a un límite $x$ debemos tener o bien $\mu(\{x\})=0$ o $\mu(\{x_n:n\in\mathbb{N}\})=\infty$ . En términos de $f$ Esto dice que, o bien $f(x)=0$ o $\sum_n f(x_n)=\infty$ .

Es decir, siempre que $f(x)>0$ cualquier secuencia que converja a $x$ debe tener una secuencia no sumable de $f$ -valores. Esto equivale a decir que siempre que $f(x)>0$ existe un $\epsilon>0$ y un barrio $U$ de $x$ tal que $f(y)>\epsilon$ para todos $y\in U$ (si no hay tal $\epsilon$ y $U$ existía, entonces al tomar $\epsilon=2^{-n}$ y $U$ a ser barrios cada vez más pequeños de $x$ se podría encontrar una secuencia que converja a $x$ cuyo $f$ -valores eran sumables).

Por el contrario, afirmo que si $f:\mathbb{R}\to[0,\infty]$ satisface la condición anterior, entonces si $\mu$ es una medida de recuento ponderada por $f$ , $\mu(A)=\mu(\overline{A})$ para todos $A$ . De hecho, basta con considerar $A$ tal que $\mu(A)<\infty$ , lo que significa que $\sum_{a\in A}f(a)<\infty$ . Pero según nuestra hipótesis sobre $f$ Esto significa que si $x$ es cualquier punto de acumulación de $A$ , $f(x)=0$ . En particular, $f(x)=0$ para cualquier $x\in\overline{A}\setminus A$ Así que $\mu(\overline{A})=\mu(A)$ .