Cómo mostrar que un límite desaparece

Question

Que $1<p<\infty$, $f \in L^p([0,\infty))$. Por qué es entonces cierto %#% $ #%

Sé que de la desigualdad de Hölder, podemos conseguir que $$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^{1-\frac{1}{p}}} \left( \int_0^x f(t)dt\right) =0?$, y también creo que esta desigualdad se debe ser estricto, puesto que la igualdad implicaría que $||f||_{L^1([0,\infty))} \leq ||f||_{L^p([0,\infty))} x^{1-\frac{1}{p}}, \; \forall x >0$ es constante, que contradice el hecho de que $f$ en un dominio con medida infinita.

Es sólo una condición necesaria aunque, y no estoy muy seguro de cómo proceder de cualquier otro.

Answer 1

Una idea es dividir la integral de $0$ $x$en dos partes, una primera que cuya contribución desaparecerá cuando $x\to+\infty$, y una segunda a la que se aplica el obvio argumento de que no se pudo cuando se aplica a la cosa.

Más específicamente, para cada positivos $u$, pick $x(u)$ tal que $$ \int_{x(u)}^{+\infty}|f(t)|^p\mathrm{d}t\le u. $$ Para cada $x\ge x(u)$, descomponer la integral de $f$ $0$ $x$en la integral de$0$$x(u)$, cuyo valor es $C(u)$, dicen, y la integral de$x(u)$$x$, a los que se puede aplicar Hölder la desigualdad. Todo esto rendimientos $$ \left|\int_0^xf(t)\mathrm{d}t\right|\le C(u)+(x-x(u))^{1-1/p}u^{1/p}\le C(u)+x^{1-1/p}u^{1/p}. $$ Al $x\to+\infty$, esto muestra que el limsup de que el valor absoluto de la relación que le interesa es en la mayoría de las $u^{1/p}$. Desde $u$ puede ser cualquier número real positivo, está hecho.

Answer 2

En primer lugar, podemos encontrar % monótono continuo $g(x)>0$tal que $\lim_{x\rightarrow \infty} g(x)=\infty$ y $f\cdot g \in L^p[0,\infty)$. Esto simplemente dice que no hay ninguna función "de más rápida crecimiento convergente". Es decir, cualquier $f\in L^p[0,\infty)$ podemos encontrar una función que crece un poco más rápido pero aún converge en $L^p$.

Satisfacer a que $q>1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$ entonces por la desigualdad de Hölders

$$\int_{0}^{x}|f(t)|dt\leq\left(\int_{0}^{x}\frac{1}{g(t)}dt\right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_{0}^{x}|f(t)g(t)|^{p}dt\right)^{\frac{1}{p}}\leq C_{1}\left(\int_{0}^{x}\frac{1}{g(t)}dt\right)^{\frac{1}{q}}$$ where $ C_{1}$ is the norm of $fg$ in $L^{p}[0,\infty)$.

El resultado a continuación, desde $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x^{1-p}}\left(\int_{0}^{x}\frac{1}{g(t)}dt\right)^{1-\frac{1}{p}}= 0.$ $

Espero que ayude,