Simplificando mi solución para: Enumerar los tres primeros números primos positivos $d$ en $\textbf{Z}$ para que los enteros cuadráticos en...

Question

Esta es la pregunta a la que he respondido: Enumera los tres primeros números primos positivos $d$ en $\mathbb{Z}$ para que los enteros cuadráticos en $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ son precisamente los de la forma $a + b \sqrt d$ , donde $a$ y $b$ son enteros racionales. Enumera los tres primeros números primos positivos $d$ para que los enteros cuadráticos en $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ son precisamente los de la forma $$\frac{a + b \sqrt d}{2},$$ donde $a$ y $b$ son enteros racionales y $a$ y $b$ son ambos pares o ambos Impares.

Haga lo mismo cuando $\sqrt d$ se sustituye por $\sqrt{d}$ .

Esta es mi solución: Si $$\frac{a + b \sqrt d}{c}$$ es un entero algebraico entonces su polinomio mónico irreducible $f(X)$ en $\mathbb{Q}[X]$ tiene coeficientes en $\mathbb{Z}$ . Desde la conjugación : $\sqrt d \to -\sqrt d$ es un automorfismo que fija $\mathbb Q$ entonces $$\frac{a - b \sqrt d}{c}$$ también es una raíz de $f(X)$ . Así que $$f(X) = \left(X - \frac{a + b \sqrt d}{c}\right)\left(X - \frac{a - b \sqrt d}{c}\right) = X^2 - 2 \frac{a}{c} X + \frac{a^2 - db^2}{4}.$$

i) $\frac{2a}{c}$ un número entero implica $c = 1$ o $2$ .

ii) Si $c = 2$ entonces $$\frac{a^2 - db^2}{4}$$ un número entero implica $a^2 \equiv db^2 \bmod 4$ . Si $b$ es impar entonces también lo son $a$ y $d$ ( $d$ es primo, así que o bien $2$ o impar)}. Trabajar con el módulo $4$ , $0 = (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 = (d - 1)b^2 \bmod 4$ para que $d \equiv 1 \bmod 4$ .

Cuando $d \equiv 3 \bmod 4$ o $2$ entonces claramente $\mathbb{Z}[\sqrt d]$ es un anillo, es decir, cerrado bajo adición y multiplicación. Cuando $d \equiv 1 \bmod 4$ entonces $$\frac{1 + \sqrt d}{2^2} = \frac{1 + d^2}{2} + \frac{\sqrt d}{2},$$ y como $d^2 \equiv 1 \bmod 4$ entonces $\frac{1 + d^2}{2}$ en un entero impar, por lo que de nuevo $$\mathbb{Z}\left[\frac{1 + \sqrt d}{2}\right]$$ es un anillo cerrado bajo adición y multiplicación.

Así que el anillo de enteros en $\mathbb{Q}(\sqrt d)$ es $$\mathbb Z\left[\frac{1 + \sqrt d}{2}\right]$$ cuando $d \equiv 1 \bmod 4$ y $\mathbb Z[\sqrt d]$ cuando $d 3$ mod $4$ o $d = 2$ .

Esto significa que $5, 13,$ y $17$ son los primeros primos donde el anillo de enteros algebraicos es de la forma $$\mathbb Z\left[\frac{1 + \sqrt d}{2}\right],$$ y $-3, -7, -11$ los primeros negativos. $2, 3, 7, 11$ son los primeros primos de $\mathbb Z[\sqrt d]$ y $-2, -5, -13$ los primeros negativos.

Sin embargo, estoy buscando una solución más sencilla. ¿Puede alguien publicar una solución que no implique nociones de números enteros cuadráticos como anillos, campos, extensiones de campo, campos de división (no sé cómo los campos de división podrían utilizarse aquí en cualquier circunstancia, pero no tengo la suficiente experiencia para poder decirlo con certeza). Gracias.

Answer 1

Intentaré rellenar el hueco que se ha saltado el primer contestador. Bueno, tiene razón, se necesita mucho trabajo para tratar de hacerlo por medios elementales.

Dado $a, b \in \textbf Q$ y $d \in \textbf Z$ cuadrado, ¿cuáles son las condiciones necesarias para $a^2 - db^2 = N \in \textbf Z$ ¿es cierto?

Si $a, b \in \textbf Z$ entonces $a^2 - db^2 = N \in \textbf Z$ es trivialmente cierto porque $\textbf Z$ es cerrado bajo adición y multiplicación.

Si uno o ambos $a$ y $b$ son racionales pero no enteros, las cosas se complican mucho más. Para tratar de mantener las cosas simples, vamos a expresar $a$ y $b$ como fracciones en términos mínimos con denominadores positivos: $$a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{s},$$ $p, r \in \textbf Z$ , $q, s \in \textbf Z^+$ , $\gcd(p, q) = \gcd(r, s) = 1$ .

Supongamos además que $q \neq s$ . Entonces $$a^2 - db^2 = \frac{p^2 s^2}{q^2 s^2} - \frac{dr^2 q^2}{q^2 s^2}.$$ Aunque $d$ puede parecer un comodín en todo esto, recuerde que sigue siendo libre de cuadrados. Puede compartir factores primos con cualquiera de $p, q, r, s$ pero tenemos garantizado un déficit de factores y por tanto este número no es un entero.

Por lo tanto, $q = s$ es imprescindible. Arbitrariamente, me desharé de $s$ y utilizar $q$ a partir de ahora. Entonces $$a = \frac{p}{q}, b = \frac{r}{q}.$$ No debemos preocuparnos por $q = 1$ Esto significa que $a, b \in \textbf Z$ y ya hemos hablado de eso.

Pasando a $q = 2$ vemos que tanto $p$ y $r$ debe ser impar para no contradecir la afirmación de que las dos fracciones están en términos mínimos. Entonces tenemos $$a^2 - db^2 = \frac{p^2 - dr^2}{4}.$$ Desde $p$ es impar, esto significa que $p^2 \equiv 1 \bmod 4$ . Igualmente, $r^2 \equiv 1 \bmod 4$ . Entonces, para que esta cosa sea un número entero, necesitamos $d \equiv 1 \bmod 4$ para que $p^2 - dr^2$ resulta ser un múltiplo de $4$ .

Todavía me queda por demostrar que $q > 2$ no da números enteros. Pero ya es casi el sábado.

Answer 2

Si lo he entendido bien, sólo hay que determinar qué anillos de enteros cuadráticos tienen "medios enteros", cuáles no, y luego elegir unos cuantos primos pequeños de cada uno.

Tal vez, como sugirió el Sr. Brooks en un comentario, no hay forma de responder a esta pregunta sin invocar conceptos de la teoría algebraica de los números. Pero tal vez, al menos, pueda hacerse utilizando el concepto más sencillo de norma.

Dados números reales racionales $a$ y $b$ y un número libre de cuadrados $d$ la norma de $a + b \sqrt{d}$ es $(a - b \sqrt{d})(a + b \sqrt{d}) = a^2 - db^2$ . El número $a + b \sqrt{d}$ es un número entero algebraico si su norma es un número entero, en caso contrario es un número algebraico pero no un entero algebraico.

Es fácil ver que si ambos $a$ y $b$ son números enteros, entonces $N(a + b \sqrt{d})$ es un número entero también. Se necesita mucho más trabajo, que no mostraré aquí, para demostrar que si $a$ o $b$ es racional pero no un número entero, la única manera de que $N(a + b \sqrt{d})$ sea un número entero es si tanto $a$ y $b$ son fracciones de modo que los numeradores son Impares y los denominadores son iguales a 2 o $-2$ y $d \equiv 1 \pmod 4$ . Supongo que esta es la parte inexcusable yada, yada, yada de mi respuesta.

Los primeros enteros positivos que satisfacen esa congruencia son 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ..., ver http://oeis.org/A016813 A partir de ahí, elegimos los primos: 5, 13, 17, 29, ... http://oeis.org/A002144

A partir de aquí, es una simple cuestión de repetir este proceso de elección de primos para los negativos $d \equiv 1 \pmod 4$ , entonces los enteros positivos y negativos que satisfacen esa congruencia.