La motivación para el análisis armónico abstracto

Question

Estoy leyendo Folland Un Curso en Resumen el Análisis Armónico y encontrar este libro muy emocionante.

Sin embargo parece Folland no dar muchos ejemplos para ilustrar la motivación detrás de gran parte de la teoría.

Por lo tanto me pregunto hay algo que muestra cómo estas cosas abstractas pueden ser aplicados para resolver problemas específicos y cuál es el propósito en su mente cuando se desarrolló esta teoría.

Gracias!

Answer 1

Esta pregunta ha estado abierto durante tanto tiempo que incluso alguien tan perezoso como me sentía una pena que no la cierre, proporcionando algunas de las comprensiones. Desde KCd señaló dos increíbles referencias Sobre la Evolución de no conmutativa Análisis Armónico por Bruto y el Análisis Armónico como la Explotación de la Simetría de Un estudio Histórico por Mackey, yo sólo podría resumir lo que he aprendido allí. La siguiente de la siguiente manera la primera referencia.

Clásico análisis armónico comienza con series de Fourier. Es notable que $\{e_n=e^{in\theta}:n\in\mathbb{Z}\}$ son funciones propias de $-\Delta$$\mathbb{S}^1$, y forman una base completa para $\mathcal{L}^2(\mathbb{S}^1)$. Por un lado, esto le da una respuesta satisfactoria a muchos de los importantes diferenciales ecuaciones que involucran el Laplaciano, por convolución con los datos iniciales. Por otro lado, se da una descomposición de la $\mathcal{L}^{2}(\mathbb{S}^1)$ en los subespacios generados por cada una de las $e_n$.

Este punto de vista le da el grupo de teoría de la naturaleza del análisis de Fourier. Tenga en cuenta que $e_n$ son precisamente la continua homomorphisms entre los dos grupos de $\mathbb{S}^1$$\mathbb{C}^*:=\mathbb{C}\backslash\{0\}$, que son los (1-dimensional) representaciones irreducibles de $\mathbb{S}^1$, ya que el $\mathbb{C}^*$ es exactamente $GL(\mathbb{C})$. Esto muestra la función de espacio de $\mathcal{L}^2(\mathbb{S}^1)$ grupo $\mathbb{S}^1$ es la suma directa de representaciones irreducibles. Tenga en cuenta también la colección de representaciones irreducibles también forma un grupo bajo la regla de $e_n \cdot e_m= e_{m+n}$, llama la doble grupo de $\hat{\mathbb{S}^1}=\mathbb{Z}$.

Esto debería recuerda a la de la teoría de representaciones de grupos finitos, que se convirtió en un muy elegante teoría bajo las manos de Frobenius, Schur y Burnside no mucho después de Fourier de tiempo. La filosofía es la de introducir algebraicas lineales método en el estudio de los grupos. Para un grupo de $G$, el estudio de la realización de $G$ dentro de los grupos de simetría de los espacios lineales, esto es, el estudio de homomorphisms $G\xrightarrow{\rho}GL(V)$ donde $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial. Tenga en cuenta que si fijamos una base de $V$, entonces cada una de las $\rho(g)$ es una matriz de $(a_{ij}^{V}(g))$.

Si un subespacio $W$ $V$ es invariante bajo$G$, $W$ da una representación de $G$. Si $V$ no tiene adecuada subespacios invariantes bajo $G$, $V$ es una representación irreducible de $G$. Deje $\hat{G}$ ser la colección de representaciones irreducibles de $G$, y para cada uno de estos espacios vectoriales que fijar una base. A continuación, tenemos una colección de matrices $\{(a_{ij}^V(g)):V\in\hat{G}, g\in G\}$. Ahora tenemos la magia. La función de espacio de $C(G)$(desde $G$ es finito podríamos tomar todas las funciones posibles de más de $G$) es de nuevo una suma directa de representaciones irreducibles, es decir, \begin{equation} C(G)=\oplus_{\hat{G}}\operatorname{dim}(V)V \end{equation} (Que es en realidad más que un isomorfismo de espacios vectoriales. Es un isomorfismo de álgebras si tomamos convolución como la multiplicación en el lado izquierdo. ) y las funciones de $\{a_{ij}^V(g)\}$ formar una base ortogonal para $C(G)$ por debajo del producto interior \begin{equation} \langle f,h\rangle=\sum_{g\in G}f(g)\overline{h(g)}. \end{equation} tenga en cuenta que esta es la traducción de todos los idiomas, es decir, se puede traducir de las funciones, pero esto no afectará el interior del producto.

Así que de nuevo esto muestra una clara similitud entre el análisis de Fourier y la teoría de representaciones de grupos finitos. Sin embargo, este no fue apreciada hasta el comienzo del siglo 20. Tanto el grupo de teoría y análisis había sido revolucionó. En el marco del programa de Klein, las personas son el estudio de la geometría a través de las gafas de acciones del grupo. Y el grupo de geometría diferencial son la Mentira de los grupos, que se convirtió en un foco de la gente que estudió la teoría de grupos. Mientras tanto, la gente que estudió las ecuaciones diferenciales también están equipados con armas como el análisis funcional. Ahora llegó Weyl que se dio cuenta de que estudiemos Mentira grupos, que en la superficie se encuentran en el otro extremo de grupos finitos, utilizando casi los mismos métodos utilizados por Frobenius y Schur si uno está dispuesto a controlar el grupo no contando, pero por la topología.

Pero de nuevo, necesitaba un invariante en el interior del producto, que es la misma cosa como un invariante de la integral. Por suerte, la existencia de una integral ya está demostrado por Haar localmente compacto grupos (la singularidad de von Neumann, y conversar por Weil). Con esto, Peter-Weyl nos dice que

Las representaciones de grupos compactos son directos sumas de irreductible. Y los elementos de la matriz de representaciones irreducibles forman una base completa para la función del espacio.

Esto es a menudo considerado como el comienzo de la moderna análisis armónico. Con su teoría, Weyl nos dijo mucho acerca compacto Mentira grupos.

Para ir un paso más lejos de allí, a uno le gustaría estudiar localmente compacto grupos. Weil se utiliza casi la misma idea y construyó una muy satisfactoria la teoría. Sin embargo, esta teoría tiene dos grandes inconvenientes cuando se aplica a ejemplos concretos. En primer lugar, ahora, la colección de representaciones irreducibles son a menudo un continuum ( $\hat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}$ ), mientras que son siempre discretos para grupos compactos. En consecuencia, las representaciones no se rompe en directo sumas, pero en directo integrales. En segundo lugar, ahora tenemos que considerar la posibilidad infinita de representaciones tridimensionales.

Así que todavía tiene un muy bonito en la teoría, pero los cálculos son a menudo técnica con localmente compacto grupos. Pero esta teoría todavía tiene muchas aplicaciones en cosas como la teoría de números. Pero también tenga en cuenta que tiene una estrecha relación con la mecánica cuántica, que implica, por definición, de infinitas dimensiones del estado de los espacios. Y la incertidumbre principios pueden ser modelados en cosas como álgebras de Weyl.