Primera nota de que, dada la condición dice que $ f: G \to G$ define como $x \to x^3$ es un inyectiva homomorphism de $G$.
Nota además de que
$$
\forall a,b \in G: \quad ababab = (ab)^{3} = a^{3} b^{3} = aaabbb.
$$
Por lo tanto,
$$
\forall a,b \in G: \quad baba = aabb, \quad \text{o, equivalentemente}, \quad (ba)^{2} = a^{2} b^{2}.
$$
Utilizando este hecho, obtenemos
\begin{align}
\forall a,b \in G: \quad (ab)^{4} &= [(ab)^{2}]^{2} \\
&= [b^{2} a^{2}]^{2} \\
&= (a^{2})^{2} (b^{2})^{2} \\
&= a^{4} b^{4} \\
&= aaaabbbb.
\end{align}
Por otro lado,
\begin{align}
\forall a,b \in G: \quad (ab)^{4} &= abababab \\
&= a (ba)^{3} b \\
&= a b^{3} a^{3} b \\
&= abbbaaab.
\end{align}
Por lo tanto, para todos los $ a,b \in G $,$ aaaabbbb = abbbaaab $, lo que produce
$$
f(ab) = a^{3} b^{3} = b^{3}^{3} = f(ba).
$$
Como $ f $ es inyectiva, llegamos a la conclusión de que $ ab = ba $ todos los $ a,b \in G $.Por lo tanto $G$ es un abelian grupo
Añadido: creo que vale la pena mencionar que existen nonabelian grupo $G$ que $x \to x^3$ es un grupo homomorphism.Más pequeño ejemplo es el grupo de Heisenberg de la orden de $27$ que puede ser pensado como todos los $3 \times 3$ superior de la diagonal de las matrices con $1's$ en la diagonal y otras entradas en el campo de la orden de $3$.Como $G$ es de exponente 3 ( es decir, $x^3=1$ todos los $x \in G$) por lo tanto $f$ es un homomorphism y $G$ es claramente no abelian porque, por ejemplo, las siguientes dos matrices no conmutan:
$$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),$$ $$\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)$$
En particular, esto también muestra que la condición de que $3$ no divide a fin de($G$) es necesario.
