Una desigualdad en la función continua real positiva

Question

Propuse mi conjetura de la siguiente manera:

Sea$f(x)$ una función continua real positiva que sea convexa en$[m, M]$, permita$m \le x_i \le M$, para$i=1,2,...,n$ mostrar que$$\frac{f(x_1)+f(x_2)+.....+f(x_n)}{n} \le \frac{f(M)+ f(m)}{2f\left(\frac{M+m}{2}\right)} f\left(\frac{x_1+x_2+....x_n}{n}\right)$ $

La igualdad se mantiene si sólo si$m=x_1=x_2=....=x_n=M$

Answer 1

¿Qué pasa si usted fija$\epsilon>0$ y considera$f:[0,3]\rightarrow\mathbb{R}$ definido por$f(x) = (x-1)^2 + \epsilon$? Asi que $m=0, M=3$. Dejar $x_1=0, x_2=2$. Asi que:

\begin{align} \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} &= \frac{f(0)+f(2)}{2} = 1 + \epsilon\\ f(\frac{x_1+x_2}{2}) &= f(1) = \epsilon \\ \frac{f(M)+f(m)}{2} &= \frac{f(3)+f(0)}{2} = (5/2)+\epsilon\\ f(\frac{M+m}{2}) &= f(1.5) = (1/4)+\epsilon \end{align}

Así que para un contraejemplo a su conjetura, sólo encontramos un$\epsilon>0$ tal que:$$ 1+\epsilon > \left(\frac{(5/2)+\epsilon}{(1/4)+\epsilon}\right)\epsilon $ $ que es cierto para todos los suficientemente pequeños$\epsilon>0$.

Answer 2

Se hizo una segunda conjetura en el comentario a mi primera respuesta, así que estoy respondiendo que aquí. La conjetura es:

Conjetura:

$$ \frac{f(x_1)+...+f(x_n)}{n} - f(\frac{x_1+...+x_n}{n}) \leq \frac{f(M)+f(m)}{2}- f(\frac{M+m}{2}) $$ siempre que $f$ es continua y convexa en el intervalo de $[m,M]$ $m \leq x_i\leq M$ todos los $i$.

Contra-ejemplo:

Considere la posibilidad de $m=0,M=1$. Considere la posibilidad de $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ definido con 2 trozos segmentos lineales durante los intervalos de $[0,3/4]$ $[3/4,1]$ con: \begin{align} f(0) &= 2\\ f(3/4) &= 1\\ f(1) &= 2 \end{align} Específicamente: $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -(4/3)x + 2 &\mbox{ if %#%#%} \\ 4x-2 & \mbox{ if %#%#%} \end{array} \right. $$ Entonces: $x \in [0, 3/4]$$

Ahora vamos a $x \in [3/4,1]$. Así: $$ \frac{f(M)+f(m)}{2} - f(\frac{M+m}{2})= \frac{f(1)+f(0)}{2} - f(1/2) = 2/3$$