¿Por qué caes hacia el centro de un agujero negro?

Question

Tomé un curso sobre teoría general de la relatividad de esta primavera, y surgió una pregunta en pasar durante nuestras sesiones de preguntas Y respuestas con el TA de que él no podía contestar a la derecha allí, y luego de un pensamiento con el profesor. Yo sólo recordaba recientemente, no tengo idea de cómo resolverlo, y eso me molesta.

Digamos que tenemos un Schwartzschild agujero negro, y un pequeño masiva de partículas en algún punto en el espacio-tiempo dentro del horizonte de sucesos. Hemos hecho varios calculaions en este escenario durante la clase. Por ejemplo, que una caída libre maximiza el eigentime hasta que la partícula golpea la singularidad, por lo que estoy un poco familiarizado con ella. Sin embargo, los cálculos involucrados cálculo de $\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2$ y tomando la raíz cuadrada. En ningún momento nos muestran que $\frac{dr}{d\tau}$ es realmente negativo, es decir, que la partícula experiencia cayendo hacia el centro del agujero negro.

Pregunta: ¿Cómo puede uno demostrar que $\frac{dr}{d\tau} < 0$ por el momento-como el mundo de línea de un objeto masivo en el interior del horizonte de sucesos?

Answer 1

Si tenemos en cuenta la métrica de Schwarzschild y sólo movimiento radial ($c=1$ unidades), luego $$ -ds^2 = d\tau^2 = (1 -r_s/r)\ dt^2 - (1 - r_s/r)^{-1}\ dr^2 = g_{00}\ dt^2 + g_{11}\ dr^2,$$ donde $r_s$ es el radio de Schwarzschild.

Si $r>r_s$$g_{00}>0$$g_{11}<0$. Para una partícula con masa, sabemos que $d\tau^2>0$, lo que significa que $g_{00}\ dt^2 > g_{11}\ dr^2$. Esto permite a $dr=0$ (un objeto inmóvil) fuera del horizonte de sucesos.

Ahora, si nos vamos a $dr<0$ tal de que la partícula se mueve en el interior del horizonte de sucesos, donde$g_{00}<0$$g_{11}>0$. Ahora, con el fin de minimizar $dr^2$, podríamos $dt^2=0$, pero claramente, a continuación, $dr^2$ debe ser $>0$ a fin de garantizar que $d\tau^2 >0$. Esto significa que la partícula no puede ser estacionaria en el interior del horizonte de sucesos, pero también significa que $dr/dt$ no puede cambiar de signo, porque es $dr$ no pueden pasar por cero.

Así como $dr$ fue negativo para conseguir en el interior del horizonte de sucesos, se debe continuar a ser negativo como $t$ aumenta. Se preguntó específicamente sobre el tiempo apropiado, $\tau$ en lugar de $t$, pero como $d\tau$ también debe ser positivo, $dr/d\tau$ también debe seguir siendo negativo.

EDIT: Eddington-Finkelstein coordenadas.

Como Arthur puntos, un problema con el argumento anterior es que no es posible cruzar de $r>r_s$ $r<r_s$debido a la coordenada de la singularidad de Schwarzschild coordenadas. En movimiento, en lugar de Eddington-Finkelstein coordenadas, tenemos $$d\tau^2 = (1-r_s/r)\ dt'^2 -(2r_s/r)\ dt'\ dr - (1 +r_s/r)\ dr^2 = g_{00}\ dt'^2 + g_{01}\ dt'\ dr +g_{11}\ dr^2 $$

Si $r>r_s$ $g_{00}>0$ así que no hay problema en tener $dr=0$, $dt'>0$ para dar a $d\tau^2>0$ y un objeto inmóvil es posible.

Ahora, no hay ningún problema en $r=r_s$; en la medida en $dt'>0$$dr<0$$dr/dt' >-1$$d\tau^2>0$. es decir, La partícula sólo puede ir hacia adentro a través del horizonte de sucesos.

Si $r<r_s$ $g_{00}<0$, $g_{01}<0$ y $g_{11}<0$. Ahora la única manera de que $d\tau^2>0$ $dt'>0$ si $dr<0$, por lo que la partícula no puede estar estático y debe continuar avanzando hacia el interior.

Answer 2

Usted no puede demostrar que la partícula está cayendo hacia el agujero negro debido a que las ecuaciones de movimiento son el tiempo reversible. Es decir, que funcionan igual de bien para una partícula que cae hacia el agujero negro y una aceleración de distancia desde el agujero negro.

Hay varias formas de calcular la trayectoria, y por lo general, usted termina el cálculo de $\left(dr/d\tau\right)^2$ como de hecho se puede recuperar haciendo. Entonces la raíz cuadrada negativa de dar la velocidad de la partícula se dirige hacia el agujero negro y el positivo de la raíz dar a la velocidad de la partícula partida de distancia desde el agujero negro.