¿Cómo puedo encontrar todos los enteros positivos$x$ y$y$ tales que$2x^2-1=y^{15}$?
PD. Vea aquí .
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Yo estaba trabajando en Byron sugerencia antes de que él lo hizo, pero me tomó un rato, porque yo no soy un número real teórico. Y, he utilizado la Salvia. Considero $2y^2 = x^3 + 1$ y la quiero poner en un formulario donde el coeficiente de $y^2$ $x^3$ 1 así que me multiplicar ambos lados por 1/2 primero y, a continuación, utilizar la transformación $(x,y) \mapsto (X/2,Y/4)$ conseguir $Y^2 = X^3 + 8$. Ahora, la Salvia puede encontrar integral de todos los puntos y se $(-2, 0)$, $(1, \pm3)$, $(2, \pm4)$, y $(46, \pm312)$. Esto es lo suficientemente bueno, porque tenga en cuenta que cualquier número entero solución a la original $2y^2 = x^3 + 1$ será asignado a un número entero solución aquí. Por lo tanto, ahora sólo hay que considerar estos 7 soluciones. Nuestra mapa es claramente invertible por $(X, Y) \mapsto (2x, 4y)$, por lo que tenemos una correspondencia uno a uno entre los puntos y todo tiene sentido. Todo lo que tenemos que hacer es mapear esos 7 puntos hacia atrás para ver lo que estaban en $2y^2 = x^3 + 1$. Ellos fueron $(-1, 0)$, $(1/2, \pm 3/4)$, $(1, \pm1)$, y $(23, \pm78)$. Por lo tanto, todos hemos entero soluciones a $2y^2 = x^3 + 1$, 3 son evidentes y los otros dos, $(23, \pm78)$ puede no corresponder a las soluciones de $2y^2 = x^{15} + 1$ como Byron, explicó.
Por el camino, la curva elíptica tiene rango 1, que significa que tiene un número infinito de soluciones a través de los racionales. Pero, sea o no de cualquiera de estos corresponden a soluciones no triviales de la original $2y^2 = x^{15} + 1$, no tengo idea.
Mark
Puntos
186
No hay soluciones que no sean$(x,y)=(1,1)$
Ver http://rmmc.asu.edu/abstracts/rmj/vol31-2/lucapag1.pdf
Shabaz
Puntos
403
$(1,1)$ está disponible por la inspección. De lo contrario, si usted escribe $2x^2=y^{15}+1=(y+1)(y^2-y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)(y^8+y^7-y^5-y^4-y^3+y+1)$ (Gracias, Alfa) usted puede mirar en donde los factores de $2x^2$ puede provenir de. Como los tres últimos términos son impares, $y+1$ debe tener un número impar de factores de $2$. $y^4-y^3+y^2-y+1=(y^3-2y^2+3y-4)(y+1)+5$, así que estos dos pueden compartir un 5, pero ningún otro primo. $y^2-y+1=(y-2)(y+1)+3$ , por lo que estos pueden compartir un factor de $3$, pero en ninguna otra prime. No hay otros pares pueden tener factores comunes. Aparte de $2, 3, 5$, todos los números primos debe dividir cada factor un número par de veces y sólo pueden dividir uno de ellos. Esto le da un montón de información sobre cómo los factores de $2x^2$ puede ser distribuido. Creo que es bastante improbable que hay más soluciones
