Si$a^m=b^m$ y$a^n=b^n$ para$(m,n)=1$, hace$a=b$?

Question

Posibles Duplicados:
Demostrar que $a=b$ donde $a$ $b$ son elementos de la integral de dominio $D$

Algo que me interesa, supongamos $a,b$ son los elementos de un integrante del dominio, de tal manera que $a^m=b^m$ $a^n=b^n$ $m$ $n$ coprime enteros positivos. ¿Esto implica $a=b$?

Desde $m,n$ son coprime, sé que no existen enteros $r$ $s$ tal que $rm+sn=1$. Entonces $$ a=a^{rm+sn}=a^{rm}^{sn}=b^{rm}b^{sn}=b^{rm+sn}=b. $$

Sin embargo, me preocupa que si $r$ o $s$ pasaría a ser negativo, a continuación,$a^{rm}, a^{sn}$,, etc, no pueden tener sentido, y por otra parte, no veo donde está el hecho de que estoy trabajando en un dominio entra en juego. Cómo se puede remediar?

Answer 1

Si $a=0$ o $b=0$, la conclusión se deduce, por lo que podemos suponer $a\neq 0$$b\neq 0$.

Supongamos que $s\lt 0$ (en cuyo caso $r\gt 0$). Escribir $s=-t$$t\gt 0$. A continuación,$rm = 1+tn$. Así tenemos $$aa^{tn} = a^{1+tn} = a^{rm} = (a^m)^r = (b^m)^r = b^{rm} = b^{1+tn} = bb^{tn}.$$ Desde $a^{tn} = (a^n)^t = (b^n)^t = b^{tn}$, llegamos a la conclusión de $aa^{tn}=bb^{tn}$ que $a=b$.

Un simétrica argumento es si $r\lt 0$.

(Básicamente, vamos a ir al campo de fracciones y, a continuación, desactive denominadores "detrás de las escenas").

Alternativamente, dicen $m = qn+r$, $0\leq r\lt n$. A continuación,$a^ra^{qn} = b^rb^{qn}=b^ra^{qn}$, que los rendimientos de $a^r=b^r$; por lo que puede sustituir a $m$ con su resto modulo $n$. La repetición como en el Algoritmo de Euclides, conseguimos que los si $a^n=b^n$$a^m=b^m$,$a^{\gcd(n,m)} = b^{\gcd(n,m)}$.

Answer 2

Que funciona siempre y cuando se pasa a la fracción de campo. Pero el uso de fracciones, la prueba es mucho más simple: excluyendo el caso trivial $\rm\,b=0,\,$ tenemos $\rm\:(a/b)^m = 1 = (a/b)^n\:$ por lo tanto el orden de $\rm\,a/b\,$ divide el coprime enteros $\rm\,m,n,\,$, con lo que el orden debe ser $1.\,$ por lo Tanto $\rm\,a/b = 1,\,$ $\rm\,a = b.\,$

Para una prueba de evitar la fracción campos de ver esta prueba que me enseña a un estudiante. Conceptualmente, las dos pruebas de explotar la estructura innata de un orden ideal. A menudo oculto en muchas pruebas en la escuela primaria de la teoría de números son varias las estructuras ideales, por ejemplo, el denominador/conductor ideales en la irracionalidad de las pruebas. Pedagógicamente, es fundamental llevar esta estructura a la palestra.

Answer 3

Sugerencia: Deje que$d$ sea el entero menos positivo tal que$a^d=b^d$. Mostrar que$d|n$ y$d|m$.

Este enfoque no requerirá$R$ conmutative, o incluso que$R$ tiene una identidad multiplicativa, sólo que no tiene divisores cero.

Específicamente, use el algoritmo de división para mostrar que si$n=dq+r$ con$0\leq r<d$. Entonces si$r>0$, show$a^r = b^r$, contradiciendo que$d$ fue el menor ejemplo.

Answer 4

Sus preocupaciones se refieren mutuamente :)

Le preocupa que$r$ y$s$ puedan ser negativos, lo que indica que desea que los inversos para$r$ y$s$ existan para que se definan potencias negativas para ellos.

Pero si usted está en un dominio conmutativo, puede trabajar en el campo de fracciones para el dominio, donde se definen!

Así que, por lo que puedo ver, su lógica es completamente correcta, en el campo de las fracciones del dominio.