Cómo utilizar la alternativa de Fredholm en una EDO

Question

Tengo la siguiente ecuación diferencial ordinaria $$ \frac{d^2u}{dx^2} + u = \cos x$$ Una solución particular a este problema es $x\sin x$ Por lo tanto, podemos decir que $$ u(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \frac{1}{2}x\sin x $$ $c_1 $ y $c_2$ dependen de las condiciones de contorno. Dada la condición de contorno que $$u(\pi) = u(-\pi)$$ obtenemos $u(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x + \frac{1}{2}x\sin x$ . Así que hay infinitas soluciones.

Dada la condición de contorno que $$ \frac{du}{dx}(\pi) = \frac{du}{dx}(-\pi)$$ obtenemos la ecuación $c_2 - \frac{1}{2}\pi = c_2 + \frac{1}{2} \pi$ . Así que este problema no tiene soluciones debido a las segundas condiciones de contorno.

Ahora aparece mi problema. La Alternativa de Fredholm se establece aquí: http://librarum.org/book/422/314 . Comienza en el apartado 8.4.2.

'' Si hay soluciones homogéneas no triviales $\phi_h(x)$ entonces el problema no homogéneo tiene $0$ de $\infty$ soluciones. Esto depende de si $$\int_{-\pi}^{\pi} \phi_h(x) cos(x) dx $$ es igual a cero o no es igual a cero".

Así que mi pensamiento es que este problema debe tener diferentes soluciones homogéneas para las diferentes condiciones de contorno, porque para la primera condición, la integral debe ser igual a $0$ y para la segunda condición la integral no debe ser igual a $0$ . Pero también veo que este problema tiene la misma solución homogénea para ambas BC. $(\sin x$ y $\cos x)$ . ¿Qué está fallando?

Answer 1

Para aplicar la alternativa de fredholm, que dice que para un operador adjunto(simétrico) $L$ , ya sea $Lu = f$ tiene una solución o $<f,v> = 1$ para todas las soluciones $v$ del problema homogéneo. en su caso, $k cos(x)$ resuelve el problema homogéneo y $k \int_{-\pi}^{\pi} \cos x\cos x dx = 1$ para una constante adecuada $k.$ esto demuestra entonces que su problema no tiene solución.

Por supuesto, se puede multiplicar la ecuación por $\cos x$ e integrar desde $-\pi$ a $\pi$ y utilizar la integración por partes para obtener $0 = 1.$ esto es lo que realmente es la alternativa de fredholm.