Expectativa de la duración de un intervalo de confianza

Question

Deje $X_1,X_2,X_3,\cdots,X_9$ ser una muestra aleatoria de tamaño $9$ a partir de una distribución normal, $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$. Si $\sigma$ es desconocido, encontrar el valor esperado de la duración de una $95\%$ intervalo de confianza para $\mu$, siempre que el intervalo se basa en la variable aleatoria $3(\overline{X}-\mu)/S$.

Puede usted por favor me ayuden con esta pregunta? Estoy luchando con cómo hacer esto. Sé que el uso de la t de Student la distribución al $\sigma$ es desconocida, pero estoy seguro de cómo integrarlo a la expectativa. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Soy consciente de que esto es una 'tarea' pregunta, pero se ha quedado sin respuesta durante más de seis meses, por lo que la figura de la tarea se ha convertido en por ahora. También, las sugerencias en los comentarios (que yo uso directamente aquí) son útiles hasta llegar al punto donde tienes que calcular el valor esperado de la desviación estándar de la muestra (no trivial de ejercicio), la cual yo os doy un enlace en esta respuesta.

Para una muestra de $X_1, X_2, ..., X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ de la población, el $95 \%$ intervalo de confianza para $\mu$ cuando la varianza $\sigma^2$ desconocido

$$\overline{X} \pm t_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

donde $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ $s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2}$ $t_{n-1}$ $97.5$ésimo cuantil de la $t$-distribución con $n-1$ grados de libertad. A partir de la expresión para el intervalo de confianza, podemos ver su anchura es la variable aleatoria $$W = 2t_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$ The only random part of $W$ is $s$, por lo tanto el ancho de espera $E(W) = \frac{2t_{n-1}}{\sqrt{n}} \cdot E(s)$, lo que reduce el problema de calcular el $E(s)$ (que se calcula en este hilo) y hacer un poco de álgebra:

$$E(W) = \sigma \cdot t_{n-1} \cdot \sqrt{ \frac{8}{n(n-1)} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{\Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$$

A partir de esa fórmula, se puede conectar $n=9$ y encontrar que $E(W) \approx 1.49 \sigma$. También podemos parcela $E(W)$ como una función de la $n$:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $