Un grupo metrizable es un espacio métrico$(G,d)$ con una operación binaria$\cdot$ tal es un grupo y mapas$(G,(\cdot))$ y$(\cdot):G\times G\to G$ dado por$f:G\to G$ y$(\cdot)(x,y)=xy$ son respeto continuo$f(x)=x^{-1}$.
¿Por qué se requiere que la definición de$d$ sea continua? ¿Es posible tener continuidad de$f$ sin continuidad de$(\cdot)$?
He cometido un error antes. Lo siento!
La continuidad de la multiplicación no es suficiente para general topológica de los grupos.
Considerar el nivel de aditivos grupo de reales con topología de Sorgenfrey. Inversa está claro que no es continua, ya que $-[a,b)=(-b,-a]$.
La multiplicación (o, más bien, además) es continua, ya que, intuitivamente, el open establece en el producto de la topología son los conjuntos que no tienen "superior" y "derecha" borde (pero, posiblemente, puede tener "izquierda" y "más bajo" de borde, o algunas partes de esos). Más precisamente, para cualquier $x+y=c\in [a,b)$, luego deje $0<\varepsilon<(b-c)/2$. A continuación, para cualquier $(x',y')\in [x,x+\varepsilon)\times [y,y+\varepsilon)$, $a\leq x+y\leq x'+y' <x+y+\varepsilon<b$, por lo $(+)^{-1}[a,b)$ está abierto.
EDITAR: He encontrado un ejemplo en Topológicos, Grupos y Estructuras Relacionadas por el Arcángel'skii & Tkachenko, ejemplo 3.5.6 en las páginas de ph 175-176. Es el grupo de homeomorphisms del espacio $\lbrace n,0,1/n\mid n\in \mathbf N\rbrace$ natural con la topología compacto-abierta de la topología.
Es metrizable, pero no metrizable por la izquierda o a la derecha - invariantes métricos, y a la inversa no es continua.
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