¿Cuál es el máximo para la estadística de chi cuadrado de Pearson?

Question

En realidad sé que la respuesta es$N(k-1)$ (donde$k$ es el mínimo entre el número de filas y el número de columnas).

Sin embargo, no puedo encontrar una simple prueba de por qué la estadística está limitada por esto. ¿Alguna sugerencia (o referencias?)

Answer 1

Para algunos intuición acerca de esto, considere la plaza de caso (k filas y columnas), con $N=nk$. A continuación, el máximo de Chi Cuadrado se produce cuando todos los marginales totales son iguales (en este caso $n$), y los valores de la tabla n a lo largo de la diagonal y 0 en la diagonal, de modo que tiene usted una perfecta asociación entre la fila y la columna de las variables. A continuación, el Chi Cuadrado estadística es $$ \sum (O-E)^2/E = k\cdot(n-n/k)^2/(n/k)+k\cdot(k-1)\cdot(0-n/k)^2/(n/k)$$ where the first part represents the sum of the k diagonal elements and the second part is the sum of the off diagonal elements. You can show that this sum is $nk(k-1)=N(k-1)$. Similar razonamiento se extiende al caso en que el número de filas y columnas no son los mismos.