En la teoría cuántica de campos, son $\mathbf{x}$ y $\mathbf{p}$ ¿todavía operadores?

Question

Puede que sea una pregunta tonta, pero tiene su origen en la toma de valores de expectativa de los operadores de campo, como por ejemplo $$\ \langle 0| \phi(x) | 0 \rangle ,$$ en la que habrá términos como: $$ \langle 0| ae^{-ip^{\mu}x_{\mu}} | 0 \rangle \hphantom{iii}\textit{and} \hphantom{iii} \langle 0| a^{\dagger}e^{ip^{\mu}x_{\mu}} | 0 \rangle ,$$ donde $a$ y $a^{\dagger}$ son los operadores de aniquilación y creación.

La pregunta es, ¿puedo conmutar $e^{ip^{\mu}x_{\mu}}$ con $| 0 \rangle$ ?

Es decir $p^{\mu}x_{\mu} = p \cdot x$ ¿un operador o sólo un número?

Answer 1

Si se refiere al $x$ y $p$ procedentes de la expansión del campo en eigenestados de momento, entonces son sólo números, por lo que "conmutan" con todo lo demás (al igual que su exponencial, por supuesto). La "componente operatoria" del operador de campo está toda en los operadores de creación/aniquilación $a$ y $a^\dagger$ (en tu ejemplo de un campo escalar real).

Los valores de expectativa a los que te refieres desaparecen porque a partir de la definición del estado de vacío $| 0 \rangle$ tienes $$ a | 0 \rangle = 0$$