¿Por qué el siguiente sistema no lineal tiene 21 soluciones?

Question

Tengo curiosidad de por qué el siguiente sistema no lineal tiene 21 soluciones (de acuerdo con Wolfram Alpha).

ps

Veo que hay una verdadera y veinte soluciones complejas:$$y+xy^2-x^3+2xz^4=0 \\ -x-y^3-3x^2y+3yz^4=0 \\ -\frac{5}{2}y^2z^3-2x^2z^3-\frac{z^7}{2}=0$

y

¿Hay alguna manera de averiguar el número de soluciones mirando los grados de las ecuaciones? Como el grado más alto de cualquier término es$(0,0,0)$, y hay$7$ variables, así que hay$3$ solutions?

Answer 1

La marca de la solución de $(0,0,0)$ y retire $z^3$ a partir de la última ecuación. Los sistemas reducidos para $z=0$ tiene dos ecuaciones cúbicas, por lo que en la mayoría de los $3⋅3=9$ soluciones.

A continuación, $z$ sólo se produce como $z^4$. Multiplicar la primera ecuación por $x$, el segundo por $y$ y expresar todas las ecuaciones en $a=x^2$, $b=y^2$, $c=xy$ y $d=z^4$, la adición de la ecuación de $ab-c^2=0$. A continuación, el sistema lee como \begin{align} c+c^2-a^2+2ad&=0 \\ -a-bc-3ac+3cd&=0 \\ -5b-4a-d&=0 \\ ab-c^2&=0 \end{align} Este sistema tiene la Bezout enlazado $8$ para el número de soluciones para $(a,b,c,d)$, cada una de estas tendrá en la mayoría de las $8$ soluciones para $(x,y,z)$. Esto reduce la estimación de a $64+9+1=74$ soluciones de la $5⋅5⋅7=175$ o $5⋅5⋅4+3⋅3=109$ para el Bezout obligado de la (reducida) del sistema original.

Para ser más precisos límites, el uso de la Bernshtejn-Kushnirenko-Khovanskii o BKK obligado dispersas sistemas polinomiales. Véase también el trabajo de la multi-homgeneous resultante.

Answer 2

Cuando hacemos el álgebra exactamente resolver este sistema, se ha $21$ soluciones distintas en $(x,y,z)$ (sin tomar en cuenta la multiplicidad). Como se ha comentado anteriormente, que ayuda a separar los casos de $z=0$$z \neq 0$.

Caso: $z = 0$

Al $z = 0$, la tercera ecuación se mantiene automáticamente. Sustituyendo $z = 0$ en los primeros dos ecuaciones da un sistema de dos cúbicos polinomio de ecuaciones en dos incógnitas $x,y$:

$$ y + xy^2 - x^3 = 0 $$ $$ x + y^3 + 3x^2y = 0 $$

Un enfoque clásico para la eliminación de variables en sistemas polinomiales calcula resultantes para encontrar las raíces de las ecuaciones. Vamos a motivar a que la computación en el caso simple en la mano.

Creo que de estos (homogéneo) las ecuaciones respectivamente como una ecuación cuadrática y cúbica en $y$, con coeficientes que resultan ser los polinomios en $x$, podemos formular el sistema en forma matricial de la siguiente manera:

$$ \begin{pmatrix} 0 & x & 1& -x^3 \\ 1 & 0 & 3x^2 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y^3 \\ y^2 \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Esto, superficialmente al menos, separa la dependencia de la $x$ a partir de la dependencia de la $y$. Si sólo los "coeficientes" forman una matriz cuadrada, se podría tomar su determinante y establecer a cero como una necesaria condición para que una raíz común.

Con sólo un poco de manipulación, esto es lo que los de la matriz de Sylvester hace por nosotros. Vamos a escalonar las filas de algunos y se expanden a un cuadrado de $5\times 5$ de la matriz así:

$$ \begin{pmatrix} x & 1& -x^3 & 0 & 0 \\ 0 & x & 1& -x^3 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1& -x^3 \\ 1 & 0 & 3x^2 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3x^2 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y^4 \\y^3 \\ y^2 \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Por lo que una condición necesaria para que una raíz de $(x,y)$ satisfacer ambas ecuaciones a existir para el determinante de esta Sylvester de la matriz a sea igual a cero. Que el factor determinante es la resultante de los dos polinomios con respecto a la variable $y$, y nos da la siguiente ecuación:

$$ x(16x^8 + 8x^4 + 1) = x(4x^4 + 1)^2 = 0 $$

Así que o $x= 0$ o $4x^4 + 1 = 0$:

$$ x = 0, 0.5 + 0.5i, 0.5 - 0.5i, -0.5 + 0.5i, -0.5 - 0.5i $$

Sorprendentemente el correspondiente $y$ valores satisfacen la misma ecuación, por lo que podemos juntar las piezas de los cinco pares de $(x,y)$ que satisfacen el sistema de con $z=0$, tal y como se muestra en la Pregunta. Fácilmente, si $x=0$, el sistema implica $y^3 = 0$ $y=0$ (y a la inversa), lo que explica la única solución real para el sistema. En los otros casos $x$ $y$ son entonces distinto de cero.

Una última observación aquí es que hay exactamente cuatro distinto de cero de la solución de pares $(x,y)$. La primera ecuación cúbica puede ahora escribirse:

$$ \frac{y}{x} = x^2 - y^2 $$

Los valores absolutos $|x|=|y|$ son todos iguales (lo raíces son elegidos), y se deduce que $|x^2 - y^2| = 1$. Desde $x^2,y^2 = \pm \frac{i}{2}$, debemos tener $x^2 = -y^2$. La nueva cúbicos ahora nos dice $y = ix$ fib $x^2 = \frac{i}{2}$ $y = -ix$ fib $x^2 = -\frac{i}{2}$.

Caso: $z \neq 0$

La división de la tercera parte de la Pregunta original de ecuaciones por $-z^3/2$ (ya que es distinto de cero), tenemos:

$$ 5y^2 + 4x^2 + z^4 = 0 $$

Dado que la única verdadera solución es la trivial ya se ha señalado, no vamos a encontrar más soluciones reales. Sin embargo, la sustitución de $-z^4 = 5y^2 + 4x^2$ en las primeras dos ecuaciones originales da una vez más un par de ecuaciones cúbicas en dos incógnitas $x,y$:

$$ y - 9xy^2 - 9x^3 = 0 $$ $$ x + 16y^3 + 15x^2y = 0 $$

Las resultantes de estas ecuaciones con respecto a $x,y$ nos da:

$$ 9y(144y^8 + 24y^4 + 1)= 9y(12y^4 + 1)^2 = 0 $$ $$ -x(729x^8 + 216x^4 + 16)= -x(27x^4 + 4)^2 = 0 $$

Descartando a todos, pero el cero raíces, $x^4 = -\frac{4}{27}$$y^4 = -\frac{1}{12}$. Presumiblemente, si uno comprueba, en cada elección de tales raíz de $x$ corresponde a uno de $y$, por lo que tenemos cuatro distinto de cero de la solución de pares $(x,y)$. Sin embargo, ahora, $z^4 = -(5y^2 + 4x^2)$ nos dará, para cada valor distinto de cero solución par $(x,y)$, cuatro distinto de cero cuarto raíces para $z$. Esto es precisamente lo que Wolfram Alpha de salida citado en la Pregunta dice.

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En conjunto, el $z=0$ de los casos involucrados cinco soluciones de triples (una sola), y el $z \neq 0$ de los casos proporcionan adicionalmente $4\times 4 = 16$ solución de triples, para un total combinado de $21$ distintos solución de puntos de $(x,y,z)$.