En la mayoría de los estándar de ejemplos de potencia de la serie, la cuestión de la convergencia a lo largo del límite de convergencia tiene uno de los varios "simple" de respuestas. (Estoy pensando en poder de la serie de una variable compleja.)
- La serie siempre converge a lo largo de su límite de $\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}\right)$
- La serie nunca converge a lo largo de su límite de $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\ x^n\right)$
- La serie diverge precisamente en un punto a lo largo de su límite de $\left(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ \frac{x^n}{n}\right)$
- La serie diverge en un número finito de puntos a lo largo de su frontera (agregar varios ejemplos de lo anterior tipo juntos).
Puede que nada suceda?
- Para empezar, hay ejemplos en los que la serie converge en precisamente un número finito de puntos a lo largo de la frontera?
- Puede haber una mezcla densa de convergencia y divergencia a lo largo de la frontera? Por ejemplo, tal vez una serie con radio de $1$ que converge para $x=\mathrm{e}^{2\pi it}$ $t$ racional, pero se aparta al $t$ es irracional.
- Puede haber convergencia en las grandes regiones conectadas en el límite con la simultánea de divergencia en otras grandes regiones conectadas? Por ejemplo, una serie con un radio de $1$ que converge a lo largo de la "derecha" de la frontera $\left(x=\mathrm{e}^{2\pi it}\mbox{ with }t\in\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\right)$ y se bifurca en otro lugar en la frontera.
Tengo curiosidad por cualquiera de los ejemplos de estos tipos, o de cualquier tipo, más allá de las viñetas de tipos.
