Aproximación de las funciones$L^p$ con funciones Schwartz con soporte compacto en el lado de Fourier

Question

Para$1\leq p<\infty$, como se muestra para cualquier$f\in L^p(\mathbb{R})$ y se le da$\epsilon>0$, existe$L<\infty$ y$g\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ #%

Sabemos que$\|f-g\|_p<\epsilon$ es un subconjunto denso de$\operatorname{supp}(\widehat{g})\subset [-L, L]$ y$C^\infty_c$ pero entonces no podemos asegurarnos de que la transformada de Fourier de$S$ esté soportada compactamente.

Answer 1

Sugerencia extendida : Basta con asumir que$f$ es una función de Schwartz (¿por qué?). Entonces usa eso

$ \ widehat {f \ ast g} = \ widehat {f} \ cdot \ widehat {g}, $$

es decir, si$\widehat{g}$ tiene soporte compacto, entonces también tiene$\widehat{f\ast g}$.

Ahora escoja una "aproximación de unidad" adecuada$(g_n)_n$.

Les dejaré los detalles.