¿Intuición para las variedades de Kähler?

Question

Definamos una variedad de Kähler como una variedad compleja cuya forma asociada (1,1) es cerrada.

Se puede demostrar que esta condición conduce a muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, las descomposiciones de Hodge y Lefschetz fuerzan simetrías de los números de Hodge.

A pesar de mis esfuerzos, sigo sin entender qué está pasando aquí. Una explicación atractiva que he oído es que la condición de Kähler fuerza una conexión entre la teoría del potencial real asociada a una métrica riemanniana y la estructura compleja, pero no estoy seguro de cómo funciona exactamente esta conexión.

¿Cuál es precisamente esa conexión? ¿Cuál es la mejor manera de entender intuitivamente la condición de Kähler? ¿Alguna de las definiciones alternativas es más útil para construir la intuición? ¿Y por qué tantas de las variedades que encontramos en matemáticas son de Kähler?

Answer 1

Consideremos una variedad compleja $X$ de dimensión (compleja) $n$ y equiparla con alguna métrica hermitiana $h$ . No es difícil ver que existe una conexión única $\nabla_{Ch}$ que sea compatible con la métrica y cuyo $(0,1)$ -parte es la $\bar\partial$ operador. Esta es la conexión de Chern de $h$ .

Ahora veamos el colector $X$ como colector real $M$ de (real) dimensión $2n$ . La métrica hermitiana es ahora sólo una riemanniana, y por lo tanto viene con una conexión única $\nabla_{LC}$ eso es libre de torsión y compatible con la métrica. Esta es la conexión Levi-Civita.

Una pregunta bastante natural es cuándo esas dos conexiones son iguales, es decir, ¿cuándo podemos esperar que la geometría diferencial compleja del con su geometría de Riemann. Al fin y al cabo, sabemos geometría de Riemann y sería bueno aprovechar ese conocimiento para estudiar la geometría compleja. conocimientos para estudiar la geometría compleja. Esto ocurre cuando la conexión de Chern no tiene torsión, como se puede deducir, y llamamos métricas hermitianas a las que satisfacen este requisito. métricas hermitianas que cumplen esta condición métricas de Kähler.

El vínculo entre esta definición de una métrica de Kähler y el exterior exterior es la siguiente: Sea $\omega = - \operatorname{Im} h$ sea el forma de Kähler de $h$ y que $\tau$ sea el tensor de torsión de Chern de $h$ . Si tomamos tres campos tangentes holomorfos $\xi, \nu, \eta$ entonces $$ \partial\omega(\xi, \nu, \overline \eta) = h(\tau(\xi, \nu), \overline \eta). $$ Así $\tau = 0$ sólo si $\partial \omega = 0$ que es equivalente a $d \omega = 0$ como la forma $\omega$ es real.

Me gusta esta definición porque es bastante natural de un punto de vista diferencial-geométrico. También puede motivar la porque en el lado riemanniano tenemos el isomorfismo de Hodge entre grupos de cohomología y formas armónicas en variedades compactas. Si nos preguntamos cómo es ese isomorfismo en el lado complejo en una compacta de Kähler, acabaremos inventando la teoría de Hodge.

Answer 2

Puede que lo que sigue no sea del todo satisfactorio (no tengo tiempo para añadir los detalles), pero es demasiado largo para un comentario.

La condición de Kahler encaja de forma natural en el marco de $G$ -estructuras.

Def: Dado un subgrupo de Lie $G \leq \text{GL}_n(\mathbb{R})$ .

• A $G$ -estructura en un $n$ -manifold $M$ es un $G$ -subconjunto $B \subset FM$ del haz marco general $FM$ de $M$ .
• A $G$ -estructura $B \subset FM$ est plano si admite una sección $s \in \Gamma(B)$ digamos $s(p) = (E_1(p), \ldots, E_n(p))$ tal que $[E_i, E_j] = 0$ . (Es decir, $s$ es localmente un marco de coordenadas).
• A $G$ -estructura $B \subset FM$ est sin torsión si admite una conexión libre de torsión.

Plano implica libre de torsión, pero lo contrario generalmente falla. Puede demostrarse que "sin torsión" equivale a "plano de primer orden" en un sentido preciso.

Por ejemplo: Sea $\text{O}(n) \leq \text{GL}_n(\mathbb{R})$ incrustarse de la forma habitual. En $\text{O}(n)$ -estructura en $M^n$ es equivalente a una métrica de Riemann sobre $M^n$ . En $\text{O}(n)$ -es plana si $M$ es localmente isométrica a $(\mathbb{R}^n, g_{\text{std}})$ . El lema fundamental de la geometría de Riemann es exactamente la afirmación de que cada $\text{O}(n)$ -es libre de torsión.

Por ejemplo: Sea $\text{U}(n) \leq \text{GL}_{2n}(\mathbb{R})$ incrustarse de la forma habitual. A $\text{U}(n)$ -estructura en $M^{2n}$ es equivalente a un par $(J,g)$ en $M^{2n}$ donde $J$ es una estructura casi compleja y $g$ es una métrica casi hermitiana para $J$ . En $\text{U}(n)$ -es plana si $(M^{2n}, J, g)$ es localmente isomorfo a $(\mathbb{C}^n, J_{\text{std}}, g_{\text{std}})$ . En $\text{U}(n)$ -es libre de torsión si es de Kahler.

En un colector compacto $M^n$ con una torsión libre $G$ -estructura, donde $G \leq \text{O}(n)$ es un subgrupo cerrado de Lie, a menudo (¿quizá siempre?) se puede establecer un análogo de las descomposiciones de Hodge y Lefschetz. Como mínimo, esto puede hacerse cuando $G$ es un grupo que surge en la Lista de Berger: $\text{U}(n)$ , $\text{SU}(n)$ , $\text{Sp}(n)$ , $\text{Sp}(n) \text{Sp}(1)$ , $\text{G}_2$ o $\text{Spin}(7)$ .

¿Por qué muchos de los colectores que encontramos son de Kahler? Cada submanifold de $\mathbb{C}^n$ y de $\mathbb{CP}^n$ hereda una estructura de Kahler, y las variedades afines/proyectivas complejas aparecen mucho.