¿Por qué la extensión$k(x,\sqrt{1-x^2})/k$ es puramente trascendental?

Question

Considere la función de campo de $k(x,\sqrt{1-x^2})$ el círculo por un algebraicamente cerrado campo de $k$. Es $k(x,\sqrt{1-x^2})$ puramente trascendental extensión de más de $k$?

Tengo curiosidad porque yo estaba leyendo la respuesta aquí. La prueba muestra $k(x+\sqrt{1-x^2})=k(x,\sqrt{1-x^2})$. Sin embargo, hay una línea que dice: $$ (x+\sqrt{1-x^2})^2 = x^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} + (1 - x^2) = 2 \sqrt{1-x^2} + 1. $$ Pero creo que $$ (x+\sqrt{1-x^2})^2 = x^2 + 2x\sqrt{1 - x^2} + (1 - x^2)=2x\sqrt{1-x^2}+1 $$ así que, asumiendo $\operatorname{char}(k)\neq 2$, creo que a lo máximo que se puede concluir es $x\sqrt{1-x^2}\in k(x+\sqrt{1-x^2})$. He estado luchando para salvar esta.

¿Cómo se puede mostrar $k(x,\sqrt{1-x^2})$ es puramente trascendental extensión de más de $k$? Es la extensión todavía puramente trascendental al $\operatorname{char}(k)=2$?

Answer 1

Estás en lo correcto que hay un error en mi prueba original, pero el resultado es true. En cambio, en el caso de que $\mathrm{char}(k) \neq 2$, considerar la puramente trascendental extensión de $k \left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} \right)$. Este campo contiene $$ \frac{1 - \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right)^2}{1 + \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}\right)^2} = \frac{(1+x)^2 - (1-x^2)}{(1+x)^2 + (1-x^2)} = x $$ A partir de esto es fácil ver que $x, \sqrt{1-x^2} \in k \left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} \right)$, por lo tanto $k(x, \sqrt{1-x^2}) = k \left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} \right)$.

Realmente todo esto sólo viene de la racional parametrización del círculo $t \mapsto \left( \frac{1 - t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right)$.

En el caso de que $\mathrm{char}(k) = 2$, la extensión de $k(x)$ obras, como $$(1+x)^2 = 1 + x^2 = 1- x^2,$$ por lo tanto $\sqrt{1-x^2} \in k(x)$. Este caso es mucho más fácil porque el círculo de $x^2 + y^2 + 1 = 0$ es realmente sólo un degenerado doble línea de $(x+y+1)^2 = 0$ en carácter 2.