Prueba de estrellas y barras de fórmula

Question

Estoy tratando de probar un fórmula (para formas de distribuir n bolas iguales entre r las personas cuando cada persona puede obtener cualquier número de bolas) C(n+r-1, r-1). Pero yo no soy capaz de demostrarlo. Puedo estar haciendo algo mal pero no soy capaz de averiguar qué es exactamente?

Esto es lo que estoy haciendo.

Pongo n bolas iguales en una línea. Ahora hay (n+1) espacios o huecos entre estos n cosas idénticas, incluyendo (de la izquierda a la izquierda de la bola y la siguiente a la derecha de la bola). Así que ahora, básicamente, sólo tengo que seleccionar alguna (r-1) lagunas de estos (n+1) lagunas y voy a ser capaz de crear grupos de r.

Por lo tanto, mi respuesta es C(n+1, r-1).

Pero la respuesta a esto es C(n+r-1, r-1) como por el Número de formas de distribuir n objetos idénticos entre los grupos r de los

Quiero saber lo que estoy haciendo mal? Gracias!

Answer 1

El fallo radica en nuestra incapacidad para "elegir" un bar dos veces (la que tendríamos que hacer para vaciar cubos interiores).

Considere la posibilidad de diez estrellas y cuatro bares (correspondiente a cinco contenedores):

*|**|**|****|*

Hay cinco contenedores. La primera se inicia a la izquierda y sigue hasta el primer "|". El final de reciclaje comienza con el final de "|", y va a la derecha a partir de ahí.

**|***|*|****|

Ahora, la derecha-la mayoría de la papelera está vacía. Esto es todo bien y bueno, pero ¿y si queremos un cubo interior vacío? Debemos elegir el mismo "lugar" dos veces, cosa que no se puede hacer.

Así que en lugar de sólo contar los espacios entre (y junto) el "*" caracteres anteriores, nos permiten catorce personajes - diez estrellas y cuatro bares. Podemos elegir caracteres adyacentes a ser barras para representar un (interior) del contenedor vacío.

**|***||****|*

$(2,3,0,4,1)$