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¿Cuántas maneras hay para que las mujeres W y los hombres M se sienten en las sillas N, si ningún hombre puede sentarse al lado de la mujer?

Entonces tenemos:

 W - count of women
M - count of men
N - count of chairs standing in a row (N > M + W)
 

Cada persona se sienta en su silla, y solamente dos hombres o dos mujeres pueden sentarse en sillas adyacentes. ¿Cuántas posibilidades hay para que se sienten?

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andy.gurin Puntos 1516

Vamos a estar utilizando tanto el Teorema 1 y el Teorema 2 de estrellas y barras

Pongamos número de sillas vacías como $E = N-(W+M)$, $W,M,E >0$

Estos $E$ sillas de actuar como bares (divisores) en las estrellas y las barras de enfoque, lo $(E+1)$ cajas en las que poner a las mujeres y los hombres, tratados sólo como categorías para el momento.

Podemos colocar a las mujeres en $A$ cajas, $1\le A \le E$, utilizando el Teorema de $1$ $\binom{W-1}{A-1}$ formas,
la elección de la $A$ cajas en $\binom{E+1}{A}$ formas

$(E+1-A)$ cajas permanecen ahora, y podemos colocar los hombres usando el Teorema de $2$ $\binom{M+E-A}{E-A}$ formas

Si cada persona es tratada como distinto, se deberá, por supuesto, tienen que multiplicar por $W!M!$

Juntando las piezas, # maneras = $$W!M!\sum_{A=1}^E\binom{E+1}{A}\binom{W-1}{A-1}\binom{M+E-A}{E-A}$$

1voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Deje $F(N,M,W)$ ser la respuesta. Tenemos las condiciones de contorno $$ \eqalign{F(N,0,W) &= {N \elegir W} \ \text{para}\ W \le N\cr F(N,M,0) Y= {N \elegir M} \ \text{para}\ M \le N\cr F(N,M,W) &= 0 \ \text{para}\ M, W > 0,\; N \le M+W\cr }$$ De lo contrario, considerar las posibilidades de la primera silla vacía. Si la primera silla vacía en la posición $j+1$, luego la primera a la $j$ posiciones son todos los hombres o todas las mujeres. $$ F(N,M,W) = F(N-1,M,W) + \sum_{j=1}^{M} F(N-j-1, M-j,W) + \sum_{j=1}^{W} F(N-j-1,M,W-j)$$

Hmm. Se parece a $F(2i+n,i,i)$ es la coordinación de la secuencia de la celosía $A_n$: véase, por ejemplo, OEIS secuencia A005901. Esto ha generando función

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 z^k/(1-z)^n = P_n\left( \dfrac{1+z}{1-z}\right) $$ donde $P_n$ $n$'th polinomio de Legendre.

Y, más en general, $F(n+2i+j,i+j,j)$ (fija $n$$j\ge 0$) parece tener la generación de la función $$ \sum_{k=0}^n {n-j \choose k}{n+j \choose n-k} z^k/(1-z)^n $$

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