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¿Cuándo polinomios eventualmente diferenciar a cero?

Supongamos que tengo un genérico polinomio:

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$$

Si continuamente me diferenciar $f(x)$, cuando va a terminar como $f^{(z)}(x)=0$?

Por ejemplo, dada $f(x)=16x^3-x^2-3x+10$:

$$f'(x)=48x^2-2x-3\\f''(x)=96x-2\\f'''(x)=96\\f''''(x)=\color{red}{0}$$

Termina como $f^{(4)}=0$.


Sé que para la función seno es este no el caso:

$$f(x)=\sin(x)\\f'(x)=\cos(x)\\f''(x)=-\sin(x)\\f'''(x)=-\cos(x)\\f''''(x)=\sin(x)\\\text{loop!}$$

Edit: Esto no es un polinomio. $x$ no está en la base, entre otras cosas.

Y si me definen

$$f(x)=\sin(x)=\frac{e^{-ix}}{2}+\frac{e^{ix}}{2}$$

Edit: Entonces tenemos sine todavía no como un polinomio. A la hora de diferenciar, obtenemos:

$$f'(x)=\frac{1}{2}ie^{ix}\left(-1+e^{2ix}\right)\\f''(x)=\frac{1}{2}e^{-ix}\left(1+e^{2ix}\right)\\f'''(x)=-\frac{1}{2}ie^{-ix}\left(-1+e^{2ix}\right)\\f''''(x)=\frac{e^{-ix}}{2}+\frac{e^{ix}}{2}\\\text{loop 2.0}!$$

¿Qué es "especial" acerca de la función del seno que no llegue a diferenciar a $0$?

Como ya he investigado esta cuestión, empecé con $i$ como un posible culpable:

$$f(x)=10ix\\f'(x)=10i\\f''(x)=0\\\text{nope}$$


$$f(x)=10x^i\\f'(x)=10ix^{-1+i}\\f''(x)=(-10-10i)x^{-2+i}\\f^{(13)}(x)=(2716272000 - 8395946000i)x^{-13+i}\\\text{aha!}$$

He encontrado que el uso de $i$ en el exponente llevó a un polinomio que finalmente no hubiera diferenciar a $0$.


¿Cuándo polinomios eventualmente diferenciar a $f^{(z)}(x)=0$? Es el uso de $i$ en el exponente es el único caso donde no?

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Stephan Aßmus Puntos 16

Un número finito de derivados de llegar a la constante cero si y sólo si el original realmente es un polinomio. Para el grado $n,$ $n+1$ derivado da cero.

Esta es también la prueba, dada una secuencia de enteros, para detectar si se está dada por un polinomio; esta es la más simple aplicación de "diferencias finitas." Si yo empiezo con $$ 1, \; 8, \; 27, \; 64, \; 125, \; 216, \; 343, $$ primera diferencia de la secuencia $$ 7, \; 19, \; 37, \; 61, \; 91, \; 127, $$ segundo diferencias $$ 12, \; 18, \; 24, \; 30, \; 36, $$ terceros $$ 6, 6,6,6,6, $$ cuarto $$ 0,0,0,0 $$

8voto

Jesse Jackson Puntos 121

Pensar al revés: inicio de $0$, se integrará $n$ veces... vas a terminar con un polinomio de grado $n-1$. Esto significa que si una función se convierte en $0$ (que es la función, no el número) después de un número finito de diferenciaciones, sólo puede ser un polinomio.

6voto

qbert Puntos 69

Podemos representar a $\sin$ como especie de un polinomio, excepto con un número infinito de términos, es decir, por el poder de expansión de la serie $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\el pecado x $$ que quizás usted ha visto. ¿Qué sucede cuando se aplica $$ \frac{d^k}{dx^k}\sin(x) $$ para cualquier número finito $k$?

1voto

Acccumulation Puntos 13

Un poco la lengua en la mejilla respuesta: la diferenciación de una función n veces, el resultado será una función idénticamente igual a cero iff después de n términos de la serie de Taylor, todos los términos son cero. Que es sólo una manera indirecta de decir "todos los términos en el polinomio tiene exponente menor que n". Sinusoidal de la serie de Taylor va para siempre, por lo que los derivados ir para siempre.

0voto

Stilez Puntos 11

Esto es una consecuencia de la naturaleza de "infinito". Sin/cos, de hecho, parecen ser los polinomios , pero de orden infinito. Así que cuando usted se diferencian, sin embargo, a menudo, la más alta de fin de plazo todavía es distinto de cero de orden infinito. Por lo tanto, nunca se llega al valor cero ya que esto requeriría un cero de orden más alto plazo (y todos los otros términos).

De hecho (ver comentario abajo) una vez que un "polinomio" tiene un número infinito de términos, no se considera para ser un polinomio. Se considera formalmente 'poder' de la serie de lugar. La introducción de un número infinito de términos que les da un montón de diferentes propiedades (potencialmente) que los polinomios no tienen. Como ejemplos sencillos, los polinomios son siempre bien definido, suave, continuo, no periódica, incluso si tienen un muy gran número de términos. Pero una vez que extender un polinomio para permitir que un infinito número de términos (= potencia de la serie), como en el OP, o complejo de facultades, poderes o no en los números naturales (0,1,2...), ninguna de estas propiedades de los polinomios están garantizados para ser todavía el caso.

Usted no puede conseguir alrededor de este, tratando de "infinito diferenciación", como ha sido sugerido. Una razón simple es que un conjunto infinito menos infinito (cada diferenciación reduce la lista de {ax^n} por uno) todavía puede dejar un conjunto infinito. O casi cualquier otro tamaño del conjunto de similares o de menor cardinalidad (no siempre bien definidos y la teoría de conjuntos no es mi punto fuerte, pero se entiende la idea). Una vez que usted tiene un número infinito de términos, sin embargo, por mucho que diferenciar, usted todavía puede tener un número infinito de términos.

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