Supongamos que tengo un genérico polinomio:
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$$
Si continuamente me diferenciar $f(x)$, cuando va a terminar como $f^{(z)}(x)=0$?
Por ejemplo, dada $f(x)=16x^3-x^2-3x+10$:
$$f'(x)=48x^2-2x-3\\f''(x)=96x-2\\f'''(x)=96\\f''''(x)=\color{red}{0}$$
Termina como $f^{(4)}=0$.
Sé que para la función seno es este no el caso:
$$f(x)=\sin(x)\\f'(x)=\cos(x)\\f''(x)=-\sin(x)\\f'''(x)=-\cos(x)\\f''''(x)=\sin(x)\\\text{loop!}$$
Edit: Esto no es un polinomio. $x$ no está en la base, entre otras cosas.
Y si me definen
$$f(x)=\sin(x)=\frac{e^{-ix}}{2}+\frac{e^{ix}}{2}$$
Edit: Entonces tenemos sine todavía no como un polinomio. A la hora de diferenciar, obtenemos:
$$f'(x)=\frac{1}{2}ie^{ix}\left(-1+e^{2ix}\right)\\f''(x)=\frac{1}{2}e^{-ix}\left(1+e^{2ix}\right)\\f'''(x)=-\frac{1}{2}ie^{-ix}\left(-1+e^{2ix}\right)\\f''''(x)=\frac{e^{-ix}}{2}+\frac{e^{ix}}{2}\\\text{loop 2.0}!$$
¿Qué es "especial" acerca de la función del seno que no llegue a diferenciar a $0$?
Como ya he investigado esta cuestión, empecé con $i$ como un posible culpable:
$$f(x)=10ix\\f'(x)=10i\\f''(x)=0\\\text{nope}$$
$$f(x)=10x^i\\f'(x)=10ix^{-1+i}\\f''(x)=(-10-10i)x^{-2+i}\\f^{(13)}(x)=(2716272000 - 8395946000i)x^{-13+i}\\\text{aha!}$$
He encontrado que el uso de $i$ en el exponente llevó a un polinomio que finalmente no hubiera diferenciar a $0$.
¿Cuándo polinomios eventualmente diferenciar a $f^{(z)}(x)=0$? Es el uso de $i$ en el exponente es el único caso donde no?