Demostrando que $\{x\in\Bbb{R}\mid 1+x+x^2 = 0\} = \varnothing$ sin la fórmula cuadrática y sin cálculo

Question

Me piden demostrar que $\{x\in\Bbb{R}\mid 1+x+x^2 = 0\} = \varnothing$ en un libro de texto de álgebra.

La fórmula para las raíces reales de un segundo grado del polinomio no es introducido todavía. Y el libro está escrito sin asumir ningún previo cálculo de los conocimientos, así que no puedo probar esto por encontrar el mínimo y los límites cuando x se aproxima a $\infty \text{ and} -\infty $.

Así tiene que ser una simple prueba algebraica que implican ni la fórmula cuadrática ni cálculo, pero estoy atascado.

Aquí están algunas cosas que he pensado:

Método 1:

$1+x+x^2 = 0 \iff 1+x+x^2+x = x$

$\iff x^2+2x+1 = x$

$\iff (x+1)^2 = x $

Y aquí tal vez probar que no existe x tal que $(x+1)^2 = x$ ???

Método 2:

$1+x+x^2 = 0$

$\iff x^2+1 = -x$

Por la ley de tricotomía sólo una de estas proposiciones: se $x=0$ o $x>0$ o $x<0$.

Asumiendo $x=0$:

$x^2+1= 0^2+1 = 0 +1 = 1$

$-x = - 0 = 0$

Y $1\neq 0$

Asumiendo $x>0$:

$x>0 \implies -x < 0$

Y $x^2+1 \ge 1 \text{ } \forall x$

Con este método tengo problemas para probar el caso de $x<0$:

Pensé que tal vez algo como esto podría ayudar, pero no estoy seguro:

$x<0 \implies -x=|x|$

$x^2 = |x|^2$

Y, a continuación, demuestran que no existe x tal que $|x|^2 + 1 = |x|$??

Puede alguien ayudarme por favor? Recuerde: Ningún cálculo o fórmula cuadrática permitido.

Answer 1

Observe que: $$ x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4} \geq 0+\dfrac{3}{4}= \dfrac{3}{4} \ \ .$$

Answer 2

Claramente, si $x\ge 0$$x^2+x+1\ge 1>0$. Y si $x<0$, $x^2+x+1>x^2+2x+1=(x+1)^2\ge 0$

Answer 3

Como un diferente tipo de argumento:

Tenga en cuenta que $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Por lo tanto, cualquier raíz de $x^2+x+1$ es una raíz cúbica de a $1$. Pero la única real $n^{th}$ raíces de $1$$\pm 1$, por lo que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales. Este último punto es bastante claro, pero sólo en caso de: $|x|>1\implies \lim_{n\to \infty} |x|^n=\infty$ $|x|<1\implies \lim_{n\to \infty} |x|^n=0$

Como una forma alternativa para terminar, tenga en cuenta que $x^3-1$ tiene una raíz real, es decir,$x=1$, y es montone aumentando, por lo que no puede tener otro.

Answer 4

Si

$x^2 + x + 1 = 0, \tag 1$

entonces

$x^2 + x + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{3}{4}; \tag 2$

pero

$(x + \dfrac{1}{2})^2 = x^2 + x + \dfrac{1}{4}, \tag 3$

así

$(x + \dfrac{1}{2})^2 = -\dfrac{3}{4}; \tag 4$

pero no real tiene un negaitive cuadrados, por lo que . . .

Answer 5

Para continuar con tus ideas:

"Y aquí tal vez demostrar que no se $x$ tal que $(x+1)^2=x$ ???"

Si $x > 0$$x + 1 > x$$x + 1 > 1$$(x+1)^2 = (x+1)(x+1) > x *1 = x$.

Si $x = 0$ $(x+1)^2 = 1 \ne 0 = x$

Si $x < 0$$(x+1)^2 \ge 0 > x$.

"Con este método tengo problemas para probar el caso x<0"

Si $x > 0$$x^2 > 0; x> 0; 1 > 0$$1 + x + x^2 > 0$.

Si $x =0$$1 + x + x^2 = 1 > 0$.

Por lo $x < 0$.

"Y, a continuación, demuestran que no existe x tal que $|x|^2+1=|x|$"

$|x|^2 \ge 0$ $|x|^2 + 1 \ge 1$ así que si $|x|^2 + 1 = |x|$$|x| \ge 1$.

Si $|x| = 1$$|x|^2 + 1 = 2 \ne 1 = |x|$.

Si $|x| > 1$$|x|^2 > |x|$$|x|^2 + 1 > |x| + 1 > |x|$.

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Básicamente, la primera cosa a notar es que si $1 + x + x^2 = 0$ $1>0; x^2 \ge 0$ $1 + x^2 = -x \ge 1 > 0$ $x$ es negativo.

La siguiente cosa a tener en cuenta es$1 + x^2 = |x|$$x^2 < |x|$$|x| < 1$. Pero eso contradice $|x| = x^2 + 1 \ge 1$.

Pero otro enfoque es el siguiente:

$1 + x +x^2 = 0$

$x(x + 1) = -1$ $x$ $x+1$ debe ser de signo contrario.

Así que o $x > 0$$x + 1 < 0$, lo que es imposible o $x < 0$$x +1 > 0$.

Pero si $x< 0 < x+1$ $|x| < 1$ e e $|x+1| < 1$. Por lo $|x(x+1)| < 1$ lo cual es una contradicción.