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8 votos

¿La integración de preservar la continuidad?

Considere una función de f(x,y):XR×YRR y supongamos que es continua durante y.

Suponga también que el Xf(x,y)dx existe y es finito.

Podemos decir que el Xf(x,y)dx es todavía continua sobre la y, o tengo que imponen otras restricciones?

7voto

Jukka Dahlbom Puntos 1219

La respuesta es no.

Por ejemplo, tenga en cuenta que el análisis de Fourier nos dice que existe una suma de funciones continuas gk(x) [0,1] tales que la suma de g(x)=k=1gk(x) es discontinuo (el enlace es de la serie de Fourier de una onda cuadrada). Con eso en mente, definir f:[0,1]×[0,1]\aRf(x,y)=k(k+1)gk(y)para todo x(1/(k+1),1/k] Usted encontrará que 10f(x,y)dx=g(y)

3voto

Leon Katsnelson Puntos 274

Aquí es un simple contraejemplo: Tome f(x,y)=|y|max, \int f(x,y) dx = \begin{cases} 1 , & y\neq 0 \\ 0, & y=0 \end{cases}

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