¿La integración de preservar la continuidad?

Question

Considere una función de $f(x,y):\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}\times \mathcal{Y}\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y supongamos que es continua durante $y$.

Suponga también que el $\int_{\mathcal{X}} f(x,y) dx$ existe y es finito.

Podemos decir que el $\int_{\mathcal{X}} f(x,y) dx$ es todavía continua sobre la $y$, o tengo que imponen otras restricciones?

Answer 1

La respuesta es no.

Por ejemplo, tenga en cuenta que el análisis de Fourier nos dice que existe una suma de funciones continuas $g_k(x)$ $[0,1]$ tales que la suma de $g(x) = \sum_{k=1}^\infty g_k(x)$ es discontinuo (el enlace es de la serie de Fourier de una onda cuadrada). Con eso en mente, definir $$f: [0,1]\times[0,1]\a \Bbb R\\ f(x,y) = k(k+1)g_k(y) \quad \text{para todo } x \in (1/(k+1),1/k]$$ Usted encontrará que $\int_0^1 f(x,y)\,dx = g(y)$

Answer 2

Aquí es un simple contraejemplo: Tome $f(x,y) = |y|\max(0,1-|xy|)$, $\int f(x,y) dx = \begin{cases} 1 , & y\neq 0 \\ 0, & y=0 \end{cases}$