Isometría de dos espacios métricos

Question

Cómo demostrar que $(\Bbb R^2, d_1)$ y $(\Bbb R^2, d_\infty)$ ¿son isométricos?

Mi enfoque

Dejemos que $f:(\Bbb R^2, d_1)\to(\Bbb R^2, d_\infty)$ sea una función definida por $f(x, y) = (x+y,x-y)$ . Puedo demostrar fácilmente que $f$ es biyectiva, pero no puedo demostrar la isometría de $f$ .

Answer 1

Como ambas métricas están inducidas por normas y su función es lineal, basta con comprobar que $f$ preserva las normas, es decir, debemos comprobar que $$\max \{|x+y|,|x-y|\}=|x|+|y|$$ para todos $x,y\in \Bbb R$ .

Podemos asumir WLOG que $x$ y $y$ y no negativo, ya que cambiar su signo no cambiaría los valores absolutos en el RHS y sólo intercambiaría los dos términos en el LHS.

Entonces el lado derecho sería igual a $\max\{x+y,|x-y|\}$ ; pero como $$|x-y|\leq |x|+|y|=x+y,$$ ambos lados deben ser entonces iguales a $x+y$ .

Answer 2

El mapa $f$ mapea la plaza $Q_1$ con vértices $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(-1,0)$ , $(0,-1)$ en la plaza $Q_\infty\subset({\mathbb R}^2,d_\infty)$ con vértices $(1,1)$ , $(1,-1)$ , $(-1,-1)$ , $(-1,1)$ .

Desde $Q_1$ es la bola unitaria cerrada en $({\mathbb R}^2,d_1)$ y $Q_\infty$ es la bola unitaria cerrada en $({\mathbb R}^2,d_\infty)$ se deduce de los principios generales sobre normas y mapas lineales que $f$ es una isometría.

Answer 3

Aquí es importante mantener los índices y las dimensiones correctas. Recuerde que tanto el $d$ en dos pares de números como argumentos, mientras que $f$ sólo admite un par. Tanto un par básico (vector / punto) como un par de pares es tentador de escribir como $(x, y)$ Así que esto es un caldo de cultivo para la confusión. Trataré de mantenerlo claro en mi respuesta, utilizando variables indexadas para los números y variables no indexadas para los puntos.

Dejemos que $x = (x_1, x_2)$ y $y = (y_1, y_2)$ . Entonces $d_1(x, y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|$ , mientras que $$d_\infty(f(x), f(y)) = \max(|f(x)_1 - f(y)_1|, |f(x)_2 - f(y)_2|)\\ = \max(|(x_1 + x_2) - (y_1+y_2)|, |(x_1-x_2) -(y_1-y_2)|)\\ = \max(|(x_1 -y_1) + (x_2-y_2)|, |(x_1-y_1) - (x_2-y_2)|)$$ que ahora es de la forma $\max(|a+b|, |a-b|)$ que es igual a $|a|+|b|$ (se puede, por ejemplo, argumentar por casos: do $a$ y $b$ tienen el mismo signo o no?), y ya está.

Answer 4

Dejemos que $(x,y), (u,v) \in \mathbb{R}^2$ .

$$ D =d_\infty(f(x,y),f(u,v)) $$ $$=d_\infty((x+y,x-y),(u+v,u-v))$$ $$ = \|x+y-u-v, x-y-u+v||_{\infty}$$ Como, $$\|(A,B)\|_{\infty}= \max(A,B) =\frac{|A+B|+|A-B|}{2} $$

podemos escribir $$ D = \frac{1}{2}(|(x+y-u-v)+(x-y-u+v)|+|(x+y-u-v)-(x-y-u+v)|)$$

$$= \frac{1}{2}(|2x-2u|+|2y-2v|)$$ $$ = |x-u|+|y-v|$$ $$ =d_1((x,y),(u,v)) $$