Conocer el grado de $\mathbb{Q}(\zeta_{37} + \zeta_{37}^{10} + \zeta_{37}^{26})$ $\mathbb{Q}$

Question

Disculpas si esto es una repetición de la pregunta. En primer lugar, me doy cuenta de que $1 + 10 + 26 = 37$. Hmmmmm! ¿Qué podría el significado de esta, posiblemente, ser? No tengo nada más inteligente que añadir, excepto que me gustaría probar a ver si podía encontrar el grado de $\mathbb{Q}(\zeta_{37})$ $\mathbb{Q}$ adhieren a esta $\alpha$ en primer lugar, a continuación, utilizar el argumento de la torre. Con ese fin, tal vez podría tratar de ver cómo muchos de los automorfismos en Gal$(\mathbb{Q}(\zeta_{37})/ \mathbb{Q})$ fix $\mathbb{Q}(\alpha)$.

Answer 1

El método es debido a Gauss, de unos 30 años antes de Galois. Tenga en cuenta que $1,10,26$ es un subgrupo del grupo multiplicativo de Z/37Z sin el 0. Método de hacer en detalle en Cox, la Teoría de Galois, en términos modernos. Para este ejemplo, consulte la página 50 en Reuschle

La raíz de $$ x^{12} + x^{11} + 2 x^{10} - 20 x^9 - 13 x^8 - 19 x^7 + 85 x^6 + 51 x^5 + 94 x^4 - 2 x^3 - 13 x^2 - 77 x + 47 $$

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parisize = 4000000, primelimit = 500509
? f = x^{12} + x^{11} + 2* x^{10} - 20* x^9 - 13* x^8 - 19* x^7 + 85* x^6 + 51* x^5 + 94* x^4 - 2* x^3 - 13* x^2 - 77* x + 47 
%1 = x^12 + x^11 + 2*x^10 - 20*x^9 - 13*x^8 - 19*x^7 + 85*x^6 + 51*x^5 + 94*x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 - 77*x + 47
? factor(f)
%2 = 
[x^12 + x^11 + 2*x^10 - 20*x^9 - 13*x^8 - 19*x^7 + 85*x^6 + 51*x^5 + 94*x^4 - 2*x^3 - 13*x^2 - 77*x + 47 1]

? poldisc(f)
%3 = 3621909936633833561849479709324950637917
? factor(poldisc(f))
%4 = 
[37 11]

[47 2]

[149 2]

[211 2]

[223 2]

[433 2]

? polgalois(f)
  ***   at top-level: polgalois(f)
  ***                 ^------------
  *** polgalois: sorry, galois of degree higher than 11 is not yet implemented.
  ***   Break loop: type 'break' to go back to GP
break> break

? 

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Answer 2

Este es un suplemento de la Voluntad Jagy la respuesta.

$\{1,10,26\}$ es un subgrupo de $(\mathbb{Z}/37\mathbb{Z})^{\times}$ implica que el automorphism $\sigma$ $\mathbb{Q}(\zeta_{37})$ que envía a $\zeta_{37}\mapsto \zeta_{37}^{10}$ corrige $\alpha=\zeta_{37} + \zeta_{37}^{10} + \zeta_{37}^{26}$. Es fácil ver que no automorfismos otros de $1,\sigma,\sigma^2$ fix $\alpha$. Por lo tanto $\mathbb{Q}(\alpha)$, siendo el campo fijo de un subgrupo de orden $3$, tiene un grado más de 12 $\mathbb{Q}$.