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Es bien sabido que para Pitágoras espiral, $\sum_1^\infty\frac1{a_n+1} = \frac12$?

Deje $\{a_n:n\in\Bbb Z^+\}$ ser la secuencia definida por $a_1=3$ $n\in\Bbb Z$ $$a_{n+1} = \frac12(a_n^2+1) $$ Tenga en cuenta que todas las $a_n$ son enteros impares.

Esto se llama la "Espiral de Pitágoras," ya que cada triplete de números $(a_n,a_{n+1}-1,a_{n+1})$ formas un triplete de pitágoras:

$$ = a_n^2+ (a_{n+1}-1)^2 = a_{n+1}^2 $$

He notado (y demostrar) que $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac1{a_k+1} = \frac12 $$

Este es un hecho de tratar con la que ha recorrido el suelo, y no es demasiado difícil de probar (y más fácil aún de aviso). Pero no he encontrado esta observación en cualquier lugar.

Es este un (relativamente) bien conocida propiedad de la que para Pitágoras espiral, y donde podría encontrarse?

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Philip Fourie Puntos 12889

Aquí es Sylvester secuencia cuya recíprocos se sabe que la suma de $1$. La secuencia que tiene es Sylvester secuencia de doblado menos $1$. De modo que su suma de los recíprocos de sumar a $1/2$ es equivalente a Sylvester recíprocos sumar a $1$.

Nota cómo baja el índice se encuentra en OEIS por Sylvester secuencia. Esto indica que se ha estudiado mucho.

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wujj123456 Puntos 171

Esta no es una respuesta para Marcar Fischler de la pregunta, sino un enfoque para una prueba de que $\sum\limits_{n=1}^\infty\,\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac12$. La idea es mostrar que $$\frac{1}{a_n+1}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}$$ para cada $n=1,2,3,\ldots$. Entonces, por telescópica de la suma, la afirmación de la siguiente manera.

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