Hay un primer $p$ cuyo sucesor es mayor que $2p$?

Question

Jugando con Goldbach es una Conjetura, me encontré a mí mismo en una situación en la que la siguiente pregunta se levantó.

Hay un primer $p$ cuyo sucesor es mayor que $2p$?

Usted puede ver. Si la respuesta a esta pregunta es verdadera, entonces Goldbach de la Conjetura de la desmiente.

Answer 1

La respuesta es no. En realidad, usted tiene Bertrand-el teorema de Chebyshev:

Para cualquier número natural $n>1$, existe un número primo $p$ tal que $$n<p<2n.$$

Como consecuencia, si denotamos $p_n$ $n$- ésimo número primo, tenemos $$p_{n+1}<2p_n.$$

Answer 2

Entre los resultados positivos de los números primos, no, no la hay. En 1845, Bertrand conjeturó que siempre hay un primer entre el$n$$2n$. Cinco años más tarde, de Chebyshev demostró "que no usan métodos de primaria," de acuerdo a MathWorld.

Por lo tanto, si $n$ es un número primo mayor que 3, entonces el siguiente primo es en la mayoría de las $2n - 3$. Y aun que es una sobreestimación de $n > 7$. Ver Sloane del A062234.

Si yo quería ser una smart aleck, me gustaría insistir en que "sucesor" de un primer $p$ significa un primo que es mayor que $p$. Entonces, si $p = -2$, tendríamos $2p = -4$, pero el sucesor de $p$ es de 2. Pero entiendo que sólo estás pensando en positivo de los números primos.

Por supuesto, esto no resolver Goldbach la conjetura de una forma o de otra, no importa cuán fuerte sugiere que es la verdad.

Answer 3

Por el teorema de los números primos, $$\pi(p) \approx \frac{p}{\log p},$$ so $$\pi(2p) \approx \frac{2p}{\log 2p},$$ which suggests there are about $$\frac{p \log \frac{p}{2}}{\log p \log 2p}$$ primes between $p$ and $2$. Note that this is an increasing quantity above $p = 2$.

Usted podría estar diciendo que los números primos deben ser bastante grandes para estas fórmulas a tener nada parecido a la precisión. Pero el lado positivo de esto es que significa que si un contraejemplo existe, sería un pequeño prime. Y el pequeño de los números primos son generalmente lleno de más estrechamente que los grandes primos!

Además, el gemelo primer conjetura sigue sin demostrarse.

Por supuesto, yo no habría pensado acerca de esto si todos los demás no había empezado postulado de Bertrand, que todavía carecía de una primaria de la prueba cuando yo nací (más atrás, entonces los niños se les enseñó que el $1$ es primo, que realmente no afecta a ninguno de los anteriores).

Answer 4

Del libro "TEORÍA ELEMENTAL DE los NÚMEROS" ;
escrito por W. SIERPINSKI ,
Editado por A. SCH1NZEL ,
Capítulo III. Los Números Primos
la sección 10. Prueba de Bertrand Postulado (Teorema de Tchebycheff)
página 144

Theorem7. Si $n$ es un número natural $> 5$, a continuación, entre el $n$ $2n$ hay al menos dos números primos.
es decir, hay primos $p_1 \neq p_2$ tal que $n < p_1 , p_2 < 2n$.

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Ahora vamos a $p$ ser cualquier número primo.

• Si $p \in \{ 2, 3, 5 \}$, entonces hemos terminado!
• Si $7 \leq p$, este teorema implica que existe un buen número de $q$ tal que $p < q < 2p;$
  por lo que el sucesor es menos de $2p$.

Answer 5

Este es, de hecho, nunca es el caso. El matemático francés Joseph Bertrand postulado en la mitad del siglo 19 que siempre hay un primer entre el $n$ y $2n$ ($n\in\mathbb{N}$). Esto fue demostrado en un par de años más tarde por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev mediante un largo y engorroso prueba.

En 1932, luego de 19 años de edad húngaro Paul Erdős publicado mucho más limpio y más corto de la prueba de la misma declaración de la utilización de los coeficientes binomiales, que llevaron a algunos de humor compañeros para componer la siguiente rima:

Chebyshev lo dijo y lo digo de nuevo.

Siempre hay un primer entre el$n$$2n$.