Problema con la versión compacta de la definición de "exactamente de una"

Question

De acuerdo a la definición, si queremos expresar que no es exactamente una $x$ tal que $P(x)$, podemos especificar:

$\exists x (P(x) \wedge \forall y (P(y) \rightarrow y = x))$

Por Instanciación Existencial, podemos decir que el $P(a) \wedge \forall y (P(y) \rightarrow y = a)$.

Ya no estamos tratando con un bicondicional, pero sólo un condicional, se puede inferir la siguiente apenas de la declaración anterior:

$\forall y (y = a \rightarrow P(y))$

Que es contra intuitivo, para nosotros sería de esperar que cualquier $y$ satisfacción $P$ sería precisamente $a$.

Sin embargo, nos encontramos con que hay un más compacto definición de exactamente uno diciendo algo como esto:

$\exists x \forall y (P(x) \leftrightarrow y = x)$

Una vez más, por Instanciación Existencial, podemos escribir:

$\forall y (P(y) \leftrightarrow y = a)$

Este tiempo lo que implica que $\forall y (y = a \rightarrow P(y))$.

Entonces... ¿qué ha sucedido?

Answer 1

Que bien que no se puede girar a una implicación sin otra justificación. Sin embargo, no existe justificación aquí como también hemos $P(a)$ en la declaración. Es por el axioma de la igualdad ha $y=a\rightarrow P(y)$ debido a $P(a)$.

Answer 2

Por Instanciación Existencial, podemos decir que el $P(a) \wedge \forall y (P(y) \rightarrow y = a)$.

Ya no estamos tratando con un bicondicional, pero sólo un condicional, se puede inferir la siguiente apenas de la declaración anterior:

$\forall y (y = a \rightarrow P(y))$

No, por supuesto que se puede inferir que. No se trata sólo de un condicional, sino más bien con una conjunción y una condicional. Desde $P(a)$ por lo tanto $\forall y~(y{=}a\to P(y))$, y, por tanto,$$P(a)\wedge \forall y~(P(y)\to y=a)\dashv\vdash \forall y~\Big(\big(y=a\to P(y)\big)~\wedge~\big(y\neq a\to\neg P(y)\big)\Big)$$

Answer 3

Para la primera definición, con el axioma de la igualdad de fórmulas nos puede derivar fácilmente:

$P(x) \vdash y=x \to P(y)$.

En detalles:

1) $∃x \ (P(x) ∧ ∀y(P(y) → y=x))$ --- premisa

2) $P(a) ∧ ∀y(P(y) → y=a)$ --- a partir de 1) por Instanciación Existencial (prefiero $\exists$-Elim...)

3) $∀y(P(y) → y=a)$ --- de 2) por Eliminación de la Conjunción

4) $P(y) → y=a$ --- a partir de 3) por Instanciación Universal

5) $P(a)$ --- de 2) por Eliminación de la Conjunción

6) $y=a$ --- asumido [*]

7) $\vdash y=a \to a=y$ --- simetría: es demostrable a partir de los axiomas de la igualdad

8) $a=y$ --- a partir de 6) y 7) por Modus Ponens ($\to$-Eliminación)

9) $\vdash a=y \to (P(a) \to P(y))$ --- axioma de la igualdad

10) $P(a) \to P(y)$ --- de 8) y 9) por Modus Ponens

11) $P(y)$ --- a partir de 5) y 10) por Modus Ponens

12) $y=a \to P(y)$ --- a partir de 6) y 11) por la Prueba Condicional (o $\to$-Introducción), la descarga de asunción [*]

13) $P(y) \leftrightarrow y=a$ --- de 4) y 12) por $\leftrightarrow$-Introducción

14) $\forall y \ (P(y) \leftrightarrow y=a)$ --- a partir del 13), por la Generalización de ($\forall$-Introducción)

15) $\exists x \ \forall y \ (P(y) \leftrightarrow y=x)$ --- de 14) por $\exists$-Introducción.

En conclusión, tenemos:

$∃x \ (P(x) ∧ ∀y(P(y) → y=x)) \vdash \exists x \ \forall y \ (P(y) \leftrightarrow y=x)$.

En una manera similar, podemos probar la equivalencia de las dos definiciones.

Answer 4

$P(a) \wedge \forall y (P(y) \rightarrow y = a)$.

Ya no estamos tratando con un bicondicional, pero sólo un condicional, se puede inferir la siguiente apenas de la declaración anterior:

$\forall y (y = a \rightarrow P(y))$

Claro que puede! Dado que el $a$ propiedad $P$, algo que es idéntico a $a$ tiene que tener la propiedad$P$.

En otras palabras, $\forall y (y = a \rightarrow P(y))$ lógicamente de $P(a)$, y por lo tanto también de $P(a) \wedge \forall y (P(y) \rightarrow y = a)$.

Supongo que pensé que no, porque estaba demasiado concentrado en el segundo conjunto.