¿Cómo se puede encontrar una terna Pitagórica con $a^2+b^2=c^2$ $a/b$ cerca de $5/7$?

Question

¿Cómo se puede encontrar una terna Pitagórica con $a^2+b^2=c^2$ $a/b$ cerca de $5/7$?

He estado leyendo el Plimpton 322 noticias, y esto encaja en el hueco de la Babilónico de la tabla entre 0.6996 ($a=1679,b=2400$) y 0,75 ($a=3,b=4$). Los Babilonios al parecer tabulados una gran cantidad de triples y luego buscó la mejor, pero hay una manera más directa?

Answer 1

Pitágoras trillizos se caracterizan por ser de la forma $$a= m^2-n^2 \\ b= 2mn \\ c=m^2+n^2$$ Así que usted puede buscar dos números enteros $m>n$ tal que $$\frac{m^2-n^2}{2mn} \approx \frac{5}{7}$$ o, de manera equivalente, $$\frac{m}{n}- \frac{n}{m} \approx 2 \cdot \frac{5}{7}$$

Ahora, vamos a $x$ ser única solución positiva de $$x-x^{-1} = 2 \cdot \frac{5}{7}$$ uno puede fácilmente calcular que $x= \frac{5 + \sqrt{74}}{7} \approx 1.94$. La idea es appximate $x= m/n$con un número racional. La continuación de la fracción de $x$ es periódica y se $[1; \overline{1, 16, 1,1,1}]$. Esto nos da la primera convergents de $x$: $$\frac{1}{1} , \frac{2}{1} , \frac{33}{17} , \frac{35}{18} , \frac{68}{35} , \frac{103}{53} , \frac{171}{88},\dots$$ which are the best rational approximations of $x$. Taking $m= 33$ and $n= 17$ que usted consigue el triplete $$a= 800 ; \ \ b= 1122 ; \ \ c= 1378$$ que no es un primitivo triplete. Dividiendo por $2$ obtener la primitiva triplete $$a= 400 ; \ \ b= 561 ; \ \ c= 689$$ con $$\left| \frac{a}{b} - \frac{5}{7} \right|= \left| \frac{400}{561} - \frac{5}{7} \right|= \frac{5}{3927} \approx 0.0013$$

Pasando de esta manera ($m= 35 , n=18$) se obtiene la siguiente solución $$a= 901 ; \ \ b= 1260 ; \ \ c= 1549$$ con $$\left| \frac{a}{b} - \frac{5}{7} \right|= \left| \frac{901}{1260} - \frac{5}{7} \right|= \frac{1}{1260} \approx 0.0008$$ y así sucesivamente.

Answer 2

La parametrización de la $c=m^2+n^2, a=m^2-n^2, b=2mn$ proviene del hecho de que $-m/n$ es la pendiente de la línea que conecta los puntos de $Q=(1,0)$ $P=(a/c,b/c)$ de los del círculo unidad.

Cuando desee $a:b=5:7$, usted quiere estar cerca del punto de $P=(5/\sqrt{74},7/\sqrt{74})$. En otras palabras, usted quiere $$ \frac mn\approx\frac{7}{\sqrt{74}-5}. $$ Una manera de encontrar progresivamente mejores aproximaciones racionales a un determinado número real como $7/(\sqrt{74}-5)$ es expandir como una continuación de la fracción.

Algunas de estas aproximaciones $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} m&n&c&a&b\\ \hline 33&17&1378&800&1122\\ 68&35&5849&3399&4760 \end{array} $$

Answer 3

$$\left(a \over b\right)^2 + 1 = \left(c \over b\right)^2 $$ $$\implies 1 = \left(c \over b\right)^2 - \left(a \over b\right)^2$$ $$\implies 1 = x^2 - y^2 \textrm{ where } x = {c \over b} \textrm{ and } y={a \over b}$$

Así que lo que quieres es encontrar un punto racional en la unidad de una hipérbola rectangular para que $y \approx {5 \over 7}$.

La siguiente es una lista exhaustiva de fórmula para los puntos racionales en la unidad de la hipérbola (derivable de Euclides con la fórmula de las ternas Pitagóricas, y con un sentido geométrico descrito por J. Lahtonen):

$$x = {1 + t^2 \over 1 - t^2}, y = {2t \over 1 - t^2}$$

Ahora nos encontramos con la solución exacta para ${2t \over 1 - t^2} = {5 \over 7}$, y luego encontrar aproximaciones racionales a la resultante de $t$.

El valor exacto es $t = {\sqrt{74} \over 5} - {7 \over 5}$. Podemos obtener aproximaciones racionales uso de la continuación de la fracción $[0; \overline{3, 8,3}]$. Esto hace que los valores de $t$ $1/3, 8/25, 25/78...$

Answer 4

Parece que haya notado que la brecha entre la fila 11 y la fila 12 de Plimpton 322? El escribano dejó un triple allí por alguna razón--habría sido:

$a = 11529$, $b = 16000$, $c = 19721$

O en el sistema sexagesimal:

$a=3.12.9$, $b=4.26.40$, $c=5.28.41$

${a\over{b}} = {5.044\over{7}}$

Usted puede encontrar este triple por tabulación de todos los posibles triples (usando, por ejemplo, el $m,n$ método) hasta algunos máximo $c$, dicen los 20.000, y seleccionar sólo los triples que tienen más no hipotenusa de longitud lateral como un regular número en el sistema sexagesimal, es decir, que se puede expresar como $2^x3^y5^z$,$x,y,z \in \mathbb{N}$. Que la longitud tenía que ser regular, ya que lo utilizan como un divisor para obtener $\delta^2$ en la primera columna.

Si usted ordenar la lista por ${a\over{b}}$ resulta que no es sólo un conjunto muy limitado de posibles relaciones en la lista y si se toma el más simple triángulo (el menor de los lados cortos) para cada uno de los distintos relación de valor que obtiene las filas de Plimpton 322, además de los que el escribano de la izquierda.