Es Scrabble del método de la determinación del orden de turno de la feria?

Question

Al menos la forma en que mi familia juega, gire a la orden se determina por el dibujo de las baldosas y ver quién tiene la letra más cercana a Un (espacios en blanco, teniendo prioridad). Si recuerdo correctamente, hay 100 distribuido de manera desigual las letras.

Intuitivamente, parece que sería injusto, aunque no puedo venir para arriba con una manera de demostrarlo. Obviamente, la distribución de la materia: mis pensamientos son que si hay más fichas en la primera mitad del alfabeto (incluyendo espacios en blanco), entonces el primer jugador tiene una ventaja, ya que son más propensas a tener un azulejo antes en el alfabeto de la siguiente (y viceversa, si hay menos fichas en la primera mitad). Eso no me parece demasiado correcto, aunque. Seguramente me estoy olvidando de algunos conceptos básicos de la prob de estadísticas.

Me imagino que esto es probablemente un duplicado, pero no pude encontrar nada relacionado a ella (tal vez desde que he estado buscando para Scrabble). Mis disculpas si es que.

Por favor, siéntase libre de editar en las etiquetas apropiadas.

Answer 1

Debido a la simetría, ningún jugador tiene una ventaja. Es decir, si $\mathscr A$ es el conjunto de resultados donde el jugador $A$ obtiene la carta más cercano a Un y $\mathscr B$ es el conjunto de resultados donde el jugador $B$ obtiene la carta más cercano a Una, hay una correspondencia uno a uno entre el $\mathscr A$ $\mathscr B$ obtiene intercambiando las cartas de los jugadores a y B obtienen. Ya que todos los resultados son igualmente probables, tienen la misma probabilidad de llegar a ir primero.

Answer 2

Su intuición tendría sentido si pudieras elegir individuales azulejos con probabilidades desiguales. Por ejemplo, imagine que hay sólo dos baldosas, 'a' y 'B', y el proceso de selección es tal que el azulejo de 'a' es elegido con una probabilidad de $0.75$ & 'B' con $0.25$. Entonces, obviamente, el jugador que llega primero tiene una mayor probabilidad de ser el ganador.

Ahora imagina que en lugar de dos, tenemos cuatro azulejos, y todos son equiprobables a recoger (como scrabble escenario). Tres 'y 'B'. Ahora usted todavía tiene un $0.75$ probabilidad de sacar 'a', pero a diferencia del primer caso, no recoger todos los 's de la bolsa si usted escoge una 'A'.

¿Cuál es la probabilidad de ganar? Pongamos nombre a los resultados X y darle un valor de $+1$ para ganar y $-1$ para perder. ¿Cuál es el valor esperado $E(X)$ si ir primero? Si tienes la mala suerte para el sorteo de la 'B' que sin duda perdido (sólo hay 's para la segunda persona a elegir). Si elige 'A', que podría ganar (con una probabilidad de 1/3 de la segunda persona escogerá 'B'), o usted podría reproducción de todo el juego (porque la segunda persona escogerá otro 'A' y un empate). Vamos a escribir estas abajo:

$$E(X) = 0.25\cdot (-1) + 0.75\cdot(\frac{1}{3}\cdot 1 + \frac{2}{3}\cdot E(X)) \ffi \\ E(X) = -\frac{1}{4} +\frac{1}{4} + \frac{1}{2}E(X) \ffi \\ E(x) = \frac{1}{2}E(X) \ffi\\ E(X) = 0$$

Se puede ver cómo la buena de los casos son compensadas por las malas, y el resultado es una ganancia de cero. Concedido, este es un ejemplo concreto para ilustrar un punto, pero usted puede ver fácilmente cómo esto se generaliza a cualquier probabilidades.

Hay, por supuesto, la simetría argumento esbozado en la respuesta de Robert Israel, que se generaliza esta para cualquier número de jugadores. Esto funciona debido a que los azulejos son equiprobables, y creo que este enfoque aquí nos ayuda un poco para tener una mejor intuición.

Answer 3

Cómo hacer que los jugadores saquen sus azulejos? Si los azulejos están en una bolsa, y los jugadores llegar a la bolsa y sacar una ficha, que pueden engañar al sentir un azulejo en blanco. O, si los azulejos son repartidas boca abajo sobre la mesa, los jugadores pueden ser capaces de reconocer por las marcas en la espalda. Si este tipo de trampa es permitido, el jugador que llega primero tiene una ventaja. Sin embargo, SI ASUMIMOS sorteo al AZAR, ningún jugador tiene una ventaja.

Supongamos que el primer jugador tiene una mejor oportunidad de dibujar un espacio en blanco que el segundo jugador. Luego, por la misma razón, el primer jugador tiene una mejor oportunidad de dibujar una Z que el segundo jugador, debido a que, bajo la suposición de sorteo al azar) no hay ninguna diferencia entre un blanco y un Z (excepto que hay dos espacios en blanco y sólo una Z en el estándar de un conjunto inglés). Y lo mismo vale para cualquier otra letra del alfabeto: el primer jugador tiene una mejor oportunidad de dibujo que el segundo jugador. Pero esto es claramente absurdo. Esto significaría que, a través de una larga serie de juegos, el primer jugador podría dibujar cada azulejo en el conjunto con más frecuencia que el segundo jugador.

Answer 4

Mira un juguete problema. Supongamos que hay dos jugadores y tres azulejos: $A_{1}$, $A_{2}$, y $B$. Los subíndices en el $A$,s indican que no hay dos $A$ azulejos. Mira todos los resultados posibles: la primera letra es lo que el primer jugador saca, la segunda letra es lo que el segundo jugador saca y la tercera carta es el resto de la carta.

1. $A_{1}A_{2}B$
2. $A_{1}BA_{2}$
3. $A_{2}A_{1}B$
4. $A_{2}BA_{1}$
5. $BA_{1}A_{2}$
6. $BA_{2}A_{1}$

La primera y la tercera, los resultados son los sorteos. El primer jugador gana el segundo y el cuarto los resultados. El segundo jugador gana la quinta y sexta resultados. En este ejemplo, si el primer jugador saca una buena azulejo, un $A$, el primer jugador puede hacer nada peor que dibujar; si el primer jugador saca una mala azulejo, un $B$, el segundo jugador tiene que ganar.

Answer 5

Si el método es justo o no, depende de lo que debe hacer en caso de un empate. (Que es, a varios jugadores de la "mejor" carta).

Si dejas que cada jugador sacar otra carta hasta que haya un ganador, todo es completamente simétrica y no hay ninguna ventaja para nadie. Usted puede olvidarse de el orden en el que las letras atrajeron una vez que comparar uno con el otro.

Si usted acaba de dejar que la primera persona que dibujó el mejor comienzo de la carta, no se van a su ventaja.