Primero supongo que debemos formalizar la unión disjunta; diré $$X \sqcup Y = (X \times \{ 0 \}) \cup (Y \times \{ 1 \})$$ para que cada $x \in X$ se corresponde con $(x,0) \in X \sqcup Y$ y cada $y \in Y$ se corresponde con $(y,1) \in X \sqcup Y$ . El $0$ y $1$ son redundantes, aparte de que garantizan que los componentes de la unión anterior son disjuntos aunque $X$ y $Y$ no son disjuntos... imagina que el conjunto $X$ en el suelo (a nivel $0$ ) y colocando el conjunto $Y$ arriba (nivel $1$ ).
Podemos definir el empuje de $f$ y $g$ en la categoría de conjuntos sea el conjunto $$P = (X \sqcup Y) / {\sim}$$ donde $\sim$ es la menor relación de equivalencia que satisface $(f(z),0) \sim (g(z),1)$ para todos $z \in Z$ . Es decir, $\sim$ toma la unión disjunta y pega los puntos de abajo en $X$ y apunta hacia arriba en $Y$ : identifica dos puntos si y sólo si hay algún punto en $Z$ de la que ambos provienen.
Por decirlo de otro modo, $\sim$ es la menor relación de equivalencia tal que $(x,0) \sim (y,1)$ siempre que $f^{-1} (\{ x \}) \cap g^{-1} (\{ y \}) \ne \varnothing$ .
Ejemplo. Dejemos que $Z = \{ a,b \}$ y que $X = Y = \mathbb{Z}$ . Definir $f : \{ a,b \} \to \mathbb{Z}$ y $g : \{ a,b \} \to \mathbb{Z}$ por $$f(a) = 5, \quad f(b) = 6,$$ $$g(a) = 7, \quad g(b) = 8$$ Ahora la unión disjunta de $X$ y $Y$ es sólo dos copias de $\mathbb{Z}$ es decir $$X \sqcup Y = \{ (n,i) : n \in \mathbb{Z},\ i \in \{ 0,1 \} \}$$
La relación de equivalencia va a identificar cada elemento consigo mismo, junto con $$(5,0) \sim (7,1) \quad \text{and} \quad (6,0) \sim (8,1)$$ desde $5 = f(a)$ y $7=g(a)$ y $6=f(b)$ y $8=g(b)$ .
El empuje es entonces $\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}$ , excepto con $(5,0)$ y $(7,1)$ se considera el mismo elemento, y $(6,0)$ y $(8,1)$ considerados como el mismo elemento (ya que se encuentran en la misma $\sim$ -clase de equivalencia).
Otro ejemplo. Dejemos que $X=Y=S^1 \subseteq \mathbb{R}^2$ sean círculos unitarios en el plano y que $Z = \{ a \}$ . Definir $f(a)=g(a)=(1,0)$ . Así, $f$ y $g$ Sólo tienes que elegir un punto en el círculo.
Desde una perspectiva geométrica, $X \sqcup Y$ es lo que obtienes cuando colocas dos círculos uno al lado del otro de manera que no se superpongan. El empuje de $f$ y $g$ identifica $f(a) \in X$ con $g(a) \in Y$ es decir, une los dos puntos.
El empuje es, por tanto, una forma de ocho.
