Perfecto números, por favor ayuda

Question

Perfecto números:6, 28, 496, 8128, ...

Hay algunos patrones interesantes, solo quiero compartir con ustedes chico y hacer algunas preguntas acerca de.

(1)

$1+2+3=6$, perfecto número 6 tiene 3 términos

$\frac{3-1}{2}=1$

$$6=1\cdot2\cdot3$$

(2)

$1+2+4+7+14=28$, tiene 5 términos

$\frac{5-1}{2}=2$

$$28^2=1\cdot2\cdot4\cdot7\cdot14$$

(3)

$1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$, tiene 9 términos

$\frac{9-1}{2}=4$

$$496^4=1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot16\cdot31\cdot62\cdot124\cdot248$$

Esto se asemeja a el factorial de los números.

Quiero saber que hace este patrón continúe durante todo perfecto números? Si no ¿cómo usted va sobre la justifican.

Answer 1

Usted puede decir :

• perfecto números son de la forma $n=2^{p−1}(2^p − 1)$ donde $p$ $2^p-1$ primer

• $n$ ha $2p-1$ divisores distintos de $n$, y el producto de los divisores es $n^{p-1}$

La base para la primera de estas es la de Euler-teorema de Euclides y la segunda es una simple derivación de la primera

Answer 2

Eso no es una coincidencia. Los divisores de cualquier (no-perfecto-cuadrado) número de $n$ pareadas: en cualquier momento usted tiene un divisor $d$, usted tiene $n/d$ que es el otro divisor, en cierto sentido, su hermano.

Por ejemplo, para $n=496$ $$1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16 \cdot 31 \cdot 62 \cdot 124 \cdot 248 =$$ $$=(2 \cdot 248) \cdot (4 \cdot 124) \cdot (8 \cdot 62) \cdot (16 \cdot 31)= 496^4$$

Cómo es que el poder es $4$? Eso es porque no se $9$ divisores, y tirar el trivial divisor $1$ (cuyo hermano es $496$). El resto de los $8$ divisores están vinculados, y usted consigue $4$ pares de números cuyo producto es $496$.