para demostrar que un elemento particular es un elemento central

Question

Si $x$ $x^n$es un automorphism de $G$. Demostrar que para todos los $x\in G$, $x^{n-1}$ es un elemento central de $G$.

No estoy realmente seguro de cómo ir sobre la prueba de lo que estoy en busca de alguna pista sobre cómo ir sobre ella.

Answer 1

Sugerencia: $x^{n-1}y^n = x^{-1}x^ny^n=x^{-1}(xy)^n= (yx)^nx^{-1}=y^nx^nx^{-1}=y^nx^{n-1}$.

Answer 2

Deje $ g, x\in G$, queremos demostrar que $x^{n-1}g=gx^{n-1}$. Desde $y$ $y^n$es un automorphism en $G$, podemos suponer sin pérdida de generalidad, que no es $y\in G$ tal que $y^n=g$.

Ahora, desde la $y$ $y^n$es un automorphism en $G$, $$ x^ny^n=(xy)^n \,\,\textrm{ and }\,\, y^nx^n=(yx)^n$$ Así $$ x^{n-1}y^n=y(xy)^{n-1} \,\,\textrm{ and }\,\, y^nx^{n-1}=(yx)^{n-1}y$$ Pero $y(xy)^{n-1}$ $(yx)^{n-1}y$ son exactamente el mismo producto de $x$$y$, por lo que tenemos $ x^{n-1}y^n= y^nx^{n-1}$.