Consideremos una red formada por todos los puntos con números enteros y positivos de coordenadas en un plano Cartesiano, y donde $K$ es el máximo valor para los $x$-eje. Nos deja asignar a cada uno de celosía punto el valor de $1/(xy)$ donde $x$ $y$ son sus coordenadas. El dibujo de las dos líneas de $y = x$ $y = Jx$ ($J$ número real $>1$), una región triangular entre las dos líneas es identificado. Me gustaría determinar un asintótica de expansión de la suma de los valores de todos los puntos incluidos en este triangular de la región de al $K$ tiende a infinito.
He calculado que este asintótica de expansión está dado por $\log(K) \log(J) + O(1)$. Sin embargo, estoy particularmente interesado en el límite de este término constante al $K$ tiende a infinito, ya que muestra un comportamiento irregular con varias discontinuidades cuando se trazan contra la $J$ (ver la Figura siguiente, que muestra el valor de este término constante en la $y$-eje vs $J$ $x$- eje).
Como se muestra en la Figura, para $J = 1$ (donde las dos líneas coinciden y el triángulo se reduce a una línea de cruce de todos los puntos con $x = y$), el límite del término constante, y en este caso de toda la summmation, corresponde a la infinita suma de la inversa de los cuadrados, produciendo $\pi^{2}/6 \approx 1.64$. A partir de este valor, la función, a continuación, muestra las discontinuidades lo largo de toda su gama. Sólo describir dos de ellos que son evidentes en la magnitud y de la que se han resaltado en la Figura: para $J = 1.49999$ el límite del término constante es acerca de $1.025$, pero para $J = 1.5$ abruptamente aumenta a cerca de $1.30$. Del mismo modo, para $J = 1.99999$ el límite del término constante disminuye a alrededor de $0.88$, mientras que para $J = 2$ abruptamente aumenta a cerca de $1.70$. La razón de todas estas discontinuidades es que, como la $y = Jx$ línea gira en sentido contrario (es decir, como $J$ de aumento), los nuevos conjuntos de puntos alineados son progresivamente y de modo discontinuo incluido en el triangular de la región. En consecuencia, el más grande de discontinuidades que se producen para valores enteros de a $J$, ya que para estos valores nuevos y relativamente grandes conjuntos de puntos que están incluidos en la región. Generalizando, la magnitud de cada salto es igual a la suma de todos los puntos correspondientes a la pendiente $J=\frac{y}{x}$ (donde $\frac{y}{x}$ es una fracción irreducible), que a su vez está dada por la suma de la inversa de los cuadrados multiplicado por $\displaystyle \frac{1}{xy}$. En este punto de vista, esta pregunta es equivalente a la de la determinación de un asintótica de expansión para el doble de la suma de armónicos $\displaystyle \frac{1}{xy}$, calculado sobre todos los posibles coprime valores de $x$ $y$ tal que $\frac{y}{x}$ es un número racional incluido en el intervalo entre el$1$$J$.
Me gustaría para determinar una expresión general para el término constante de esta suma. He intentado un número de enfoques, incluyendo la aplicación de Euler-MacLaurin fórmula o transformaciones de Fourier, pero cada intento fallido. No estoy necesariamente de la búsqueda de una forma cerrada, en el sentido estricto, que probablemente no podría existir. Más bien, yo estaría muy interesado en encontrar un más compacto o elegante expresión general para este término, en comparación con la forma trivial de la presentación de informes como la diferencia entre el doble de la suma de armónicos y la logarítmica plazo $\log(K) \log(J)$.
