¿Cómo modelar la pérdida de energía en un cuerpo en rotación?

Question

Hace poco pregunté a un pregunta sobre la modelización de la inestabilidad en un cuerpo rígido en rotación. Ahora me doy cuenta de que estaba confundiendo mentalmente dos efectos diferentes:

1. El "efecto Dzhanibekov", en el que un objeto rígido con tres momentos de inercia diferentes parece dar vueltas al girar alrededor del eje intermedio. Acaba oscilando en un patrón de aspecto bastante complejo.

2. La tendencia de un objeto (por ejemplo, un cilindro lleno de fluido) a cambiar su eje de giro hacia el de mayor momento de inercia.

He conseguido reproducido efecto 1, que al final es un resultado relativamente simple (aunque algo sorprendente) de la conservación del momento angular.

El efecto 2, sin embargo, es no algo que ocurre con los cuerpos rígidos ideales. Sólo ocurre cuando hay algún mecanismo de pérdida de energía -por ejemplo, las antenas de látigo (como en el famoso Explorador 1 satélite), o el movimiento de un fluido interno (como en este video ).

He encontrado explicaciones que dicen que en estos casos, la energía rotacional (también conocida como energía cinética angular) se pierde, aunque el momento angular permanece (de alguna manera) inalterado. Me gustaría modelar este efecto. Imagino que se trata de transferir algo de momento de un eje a otro, pero ¿de qué manera?

Answer 1

Parece que quieres decir "simular" cuando has utilizado la palabra "modelo".

Necesitarás dos cosas para conseguirlo:

1. Un integrador rotacional mejor que el presentado en esta respuesta a su otra pregunta, y

2. Modelo físico de un sistema que pierde energía conservando el momento angular.

En cuanto al primer punto Ese integrador no está mal. Tiene los fundamentos de la integración del grupo de Lie incorporados, y también tiene incorporada la conservación del momento angular. Pero tampoco es tan bueno. Es el análogo rotacional de la técnica de integración de Euler-Cromer (también conocida como Euler simpléctico, Euler semi-implícito, Newton-Størmer-Verlet y un montón de otros nombres). Euler-Cromer es de primer orden en términos de error. Se puede hacer mejor que eso, y será necesario hacerlo para ver este sutil efecto. Por desgracia, las matemáticas que subyacen a estos mejores integradores rotacionales son bastante profundas.

En los últimos 25 años se ha trabajado mucho sobre este tema. Al final de esta respuesta he enumerado un pequeño número de referencias sobre este conjunto de trabajos. El primer trabajo de Iserles et al. tiene 128 páginas. Se trata de el un artículo fundamental de lectura obligatoria sobre este tema. Con 128 páginas, todo lo que puedo hacer en un sitio web de preguntas y respuestas como éste es indicarles el artículo. El segundo artículo de Cellodini et al. es mucho más breve, con 28 páginas. Este resumen ofrece una visión general de las técnicas y describe los avances realizados desde el artículo de Iserles et al. El último artículo describe un par de aplicaciones específicas que utilizan técnicas de integración de grupos de Lie.

Puedes buscar en scholar.google.com "Lie group integrators" para obtener mucha más información, y muchos de los artículos que encuentres están disponibles en línea de forma gratuita. No hay que pagar por ello.

En cuanto al segundo punto necesitarás un modelo de cuerpo no rígido. Algunas formas de hacerlo:

• Utiliza cuerpos rígidos acoplados que intercambian momento lineal y angular entre sí, de forma coherente con la tercera ley de Newton, pero que pierden energía durante la transferencia de momento.

• Utilice un modelo de cuerpo flexible. Una vez más, scholar.google.com es tu amigo.

• Utiliza un modelo de chapoteo. Modelar adecuadamente cuerpos sólidos no ideales es un problema no trivial. Modelar fluidos es un problema mucho, mucho más difícil. Podrías utilizar un modelo de dinámica de fluidos computacional (CFD), pero necesitarías un superordenador para hacerlo. Los modelos de chapoteo proporcionan un modelo de fidelidad moderada de la física de los fluidos que chapotean dentro de un contenedor. Una vez más, scholar.google.com es tu amigo.

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Referencias:

Iserles, A., Munthe-Kaas, H. Z., Nørsett, S. P., & Zanna, A. (2000). Lie-group methods. Acta Numerica , 9, 215-365.

Celledoni, E., Marthinsen, H., & Owren, B. (2012). An introduction to Lie group integrators--basics, new developments and applications. preimpresión arXiv arXiv:1207.0069.

Kobilarov, M., Crane, K., & Desbrun, M. (2009). Integradores de grupos de Lie para la animación y el control de vehículos. ACM Transactions on Graphics , 28(2), 16.

Answer 2

Una imagen simple aquí sería que la disipación conduce a la pérdida de energía mecánica. Pero el momento angular debe conservarse. La menor energía mecánica posible con un valor dado del momento angular del fluido dentro de un recipiente es la de un cuerpo rígido que gira alrededor del eje de mayor momento de inercia.