Si $x\notin\mathbb{Q}$, $\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2+\epsilon}}$ para infinidad de $\frac{p}{q}$?

Question

Este aparece en el Problema 1 del Capítulo 1 de Stein & Shakarchi del Análisis Real:

Dado un irracional $x$, se puede demostrar (mediante el pigeon-hole principio, por ejemplo) que hay un número infinito de fracciones $p/q$, con relativamente primer enteros $p$ $q$ tal que $$\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q^2}.$$ Sin embargo, demostrar que el conjunto de todas las $x\in\mathbb R$ tal que existe un número infinito de fracciones $p/q$, con relativamente primer enteros $p$ $q$ tal que $$\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\frac{1}{q^{3}} \text{ (or} \leq 1/q^{\epsilon+2})$$ es un conjunto de medida cero.

Por la sugerencia, estoy tratando de probar este uso de la Borel-Cantelli lema. Como mi familia de conjuntos contables, estoy pensando en $E_{q} = \{x : \exists p. |x - p/q| < 1/q^{2+\epsilon} \}$.

Estoy teniendo problemas para mostrar que la suma de las medidas de $E_{q}$ converge. Puedo mostrar que $E_q$ es la unión de los intervalos de longitud de $2/q^{2 + \epsilon}$, pero no podemos poner un límite en el número total de intervalos, debido a que el enunciado del problema dice $x \in \mathbb{R}$ $p$ puede ser arbitrariamente grande.

Me encontré con un problema similar a la instrucción en esta cuestión, pero no el obligado viene del hecho de que $x \in [0,1]$.

Estoy considerando el mal de la familia de conjuntos para este problema, errónea interpretación de la declaración del problema, ni encontrarse con algún otro problema?

Answer 1

Lo que usted desea para una $x$ es la propiedad que es golpeado por infinito los números racionales con la propiedad deseada.

El $E_i$ es bueno para contar cuando esta propiedad se produce una vez por lo que para evitar overcounting.

Tomar una enumeración de los racionales $a_i$, y escribir $a_i = \frac{p_i}{q_i}$

Esto le da a la intuición para definir $E_i = \{x| |x- \frac{p_i}{q_i}|< \frac{1}{q_i ^{2+ \epsilon}} \}$

Pero ahora $$ \sum _{i=1}^{\infty} \mu (E_i) = \sum _{i=1}^{\infty}2 \frac{1}{q_i ^{2+ \epsilon}} <\infty$$

Así borel canteli lema puede ser aplicada.

Otra forma de ver borel canteli lema es escribiendo

$$f(x)= \sum _{i=1}^{\infty}\chi _{(a_i -\frac{1}{q_i ^{2+ \epsilon}} , a_i +\frac{1}{q_i ^{2+ \epsilon}}) } (x)$$

que $f(x_0)$ cuenta el número que la propiedad deseada por $x_0$ es achivied. Queremos mostrar que el conjunto de $x_0$ golpeado por el número infinito de intervalos tiene medida cero. Equivalentemente, nos muestran $$\int f(x) \rm{d}x <\infty$$ Que es cierto por la monotonía de convergencia.