Es $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ a un sindicato de contables de la familia de conjuntos cerrados?

Question

Podemos representar el conjunto de los números irracionales como la unión de los contables de la familia de conjuntos cerrados?

Answer 1

La respuesta es NO.

Si $\mathbb R\!\smallsetminus\!\mathbb Q=\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n$, donde $F_n$, $n\in\mathbb N$, están cerrados, entonces $$ \mathbb Q=\mathbb R\smallsetminus\!\bigcup_{n\in\mathbb N}F_n =\bigcap_{n\in\mathbb N} (\mathbb R\!\smallsetminus\! F_n)=\bigcap_{n\in\mathbb N} U_n $$ donde $U_n=\mathbb R\!\smallsetminus\! F_n$ abierto. Evidentemente, cada uno de estos $U_n$'s también es denso, como su intersección es densa.

Si ahora escribiremos $\mathbb Q$ $\mathbb Q=\{q_n\}_{n\in\mathbb Q}$ establecer $V_n =U_n\!\smallsetminus\!\{q_n\}$, entonces estos $V_n$'s también están abiertos y densos y $$ \bigcap_{n\in\mathbb N}V_n=\varnothing, $$ que contradice Baire Teorema.

Answer 2

No, esto no es posible, pues si lo era, ${\mathbb R}$ sería la unión de countably muchos nada densa, cerrada por subconjuntos, contradiciendo de categoría de Baire teorema.