¿Cuánto tarda en parar?

Question

Una nave espacial que se mueve en dos dimensiones, en la posición $(x, y)$ y tiene una velocidad de $(v_x, v_y)$. También tiene una aceleración máxima $a_{max}$. Su objetivo es estar en la posición $(x', y')$ con una velocidad de $(v'_x, y'_x)$. Qué camino toma la menor cantidad de tiempo?

Veo que el problema puede reducirse a una nave espacial en $(0, 0)$ con una velocidad de $(0, 0)$, tratando de interceptar un objeto en la actualidad en $(x'-x, y'-y)$ con una velocidad de $(v'_x - v_x, y'_x - y_x)$.

Tengo una corazonada de que el camino óptimo siempre será la aceleración constante en una dirección, posiblemente con una inversión en algún lugar a lo largo del camino.

Tengo curiosidad porque creo que el tiempo total será una constante y pueden admitirse heurístico para un Newtoniano de rutas algoritmo que toma velocidad en cuenta.

Aclaración

No hay restricciones adicionales. El problema es minimizar el tiempo, a no conservar $\Delta v$.

Answer 1

Recuerdo que el multiplicador de Lagrange se puede utilizar para este tipo de problema. No lo he practicado mucho a mí mismo, así que no voy a tratar de explicarlo desde el punto de vista teórico.

En resumen es un método para encontrar locales máximos/mínimos de una función dada, en virtud de algunas limitaciones.

Este método te dará la solución, pero usted tendrá que leer cómo usarlo. Alternativamente, usted puede tratar de encontrar algunos ejemplos ahora que sabes cómo se llama, probablemente habrá algo similar a su nave espacial problema.

Buena Suerte!

EDITAR :

Buscar en la Brachistochrone curva artículo. Es el uso del método de Lagrange para una clase de problemas que es similar a la tuya.

Answer 2

Su corazonada es correcta. La solución óptima es la aceleración de a $a_{max}$, seguido por la desaceleración. La proporción correcta (y dirección) de los dos depende de la relación inicial y final de las velocidades.

Para la 1D caso con la velocidad de cambio de$v_i$$v_f$, a partir de la posición$x_i$$x_f$, acelerando para $t_1$ y la desaceleración de $t_2$. Se puede obtener las siguientes ecuaciones. $$ v_f=v_i + a(t_1-t_2) $$ $$x_f=x_i+v_i(t_1+t_2)+\frac{1}{2}a(t_1^2−t_2^2)+at_1t_2$$

Este es de dos ecuaciones con dos incógnitas y se puede resolver por $t_1$$t_2$.

Si tu también cambiar la dirección (por lo que su realidad 2D problema, como usted da) es un poco más complicado, como también se debe optimizar la dirección de empuje, pero los mismos principios se aplicarán todavía.

Como una nota del lado real de la nave espacial tienden a no hacer esto ya que no es la más eficiente en términos de combustible, que es una mayor preocupación por la nave espacial.