Buscando estudiante de la guía de diagrama persiguiendo

Question

Le estoy enseñando a mí mismo en alguna categoría de teoría, y me parece que me voy muy lento con el diagrama de perseguirla. Me toma algunas veces por un tiempo muy largo para decidir si la adición de una flecha a un diagrama conserva el diagrama de la conmutatividad, o que una flecha existe, o es exclusivo, o que dos flechas opuestas en realidad son inversos el uno del otro, etc. Por el contrario, más de una vez he sido guiados hacia un callejón sin salida como resultado de descuido diagrama de razonamiento.

Estoy buscando un "estudiante de la guía de diagrama de persecución", o el equivalente. I. e. una colección de consejos, reglas de oro, dos y donts, etc., dirigido a principiantes. E. g. reglas como: "cualquiera de los dos desplazamientos de los diagramas pueden pegarse a lo largo de una arista común".

Si por casualidad usted conoce de una guía de$^{1}$, por favor, hágamelo saber de ella.

Gracias!

$^{1}$IOW, por favor, no Google es para mí. Yo ya lo han hecho, y no encontré nada que se ajusta a la descripción dada anteriormente. Mi única esperanza es que existe una guía como un apéndice de un libro, o tal vez algunos inéditos apuntes en clase.

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ACTUALIZACIÓN

Pensé que algunos lectores encontrarán que este cuento con moraleja aleccionadora.

Mientras se trabaja a través de una flecha-empujar/diagrama de persecución de ejercicio, me atrajo a este diagrama

(Por lo que vale, todos estos diagramas se encuentran en buen ol' Set.)

Aquí, $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$ es la relación binaria

$$ \{(u, v) | \gamma(u) = \delta(v) \} \subseteq U \times V = U \;\Pi\; V, $$

y $\rho_U, \rho_V$ se dan por $\rho_U((u, v)) = u, \rho_V((u, v)) = v$. Los mapas de $\pi_U, \pi_V$, por supuesto, son las proyecciones canónicas del producto $U \;\Pi\; V$. (De dos cabezas de las flechas denotan epimorphisms, y la "cola" de las flechas, como la de la $\delta$, denotan monomorphisms.)

El diagrama de seguro parecía bastante inocente al principio: nada más que la habitual categórica pullback (que aquí estoy llamando $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$, para sugerir un "fibrado producto"):

...muy bien equipado con su inclusión $\iota_{\gamma,\delta}$ en la costumbre, categórica producto:

No hace falta decir que pronto comenzó a derivar (desde el primer diagrama de arriba, que es), algunos obviamente absurdas conclusiones, tales como "$\delta$ es monic $\Rightarrow \pi_U$ es monic $\Rightarrow U\;\Pi\; V \cong U$".

Me tomó muchísimo tiempo para averiguar que el origen de los errores fue incorrectamente el tratamiento de este subdiagrama como conmutativa:

Por supuesto, salvo los casos especiales (por ejemplo,$V \cong W \cong \mathbf{1}$, el singleton), este último diagrama está mal.

Estoy seguro de que hay una moraleja de esta historia (aparte de "Diagramas son más difícil de lo que parece" y "no seas estúpido!"), pero no he descubierto todavía.

Answer 1

Parte del problema es que una gran cantidad de mathematicans que son pesados en categórica construcciones y pensando creo que la mayoría de ella es apenas obvio si se mira a los diagramas-sólo tienes que seguir las flechas,dicen. Creo que la mayoría de los principiantes no estaría de acuerdo, pero por alguna razón nunca penetra.

Relativamente sencillas construcciones-como la conmutativa triángulos y cuadrados-es fácil decir que es obvio ya que sólo puede reexpresar en términos de moda y funcional de los argumentos( escribir las composiciones de forma explícita). Pero en el mundo real, usted realmente no puede conseguir lejos con esta maquinaria, si usted no puede leer mucho más complicado diagramas. Incluso la prueba de la Serpiente Lema en álgebra homológica-que confunde a la mierda de muchos estudiantes de posgrado-es de material para bebés en comparación con algunos de los diagramas que vas a ver otras zonas de este tema. Incluyendo un número de 3 dimensiones de la flecha de caza.

Así que estoy de acuerdo-hay una necesidad para una buena práctica origen de este material para los principiantes.Hasta que alguien escribe uno,usted necesitará hacer algunos de cavar alrededor y armar un mosaico de origen. Paulo Aluffi del Álgebra:Capítulo 0 tiene probablemente la mejor introducción al diagrama de perseguir y su relación a las categorías que existe en la actualidad. Es realmente diseñado como una presentación para los principiantes-se hace un trabajo muy bueno y tiene muchos buenos ejercicios para la práctica. Una más general e igualmente útil introducción se puede encontrar en Harold Simmons' Una Introducción A la Categoría de Teoría. 2 otros,menos completa,pero igualmente útil fuentes son el Capítulo 4 de Ash Básicos de Álgebra Abstracta ,que está disponible en línea en el sitio web de Ash y páginas 43-53 de P. M. Cohn Una Introducción Al Anillo de la Teoría. Creo que usted encontrará que todas estas fuentes para ser útil.

Answer 2

Bueno, el primer problema es que no hay normas estrictas sobre el uso y el significado de los diagramas. Aunque una definición formal existe-un diagrama de objetos y flechas en una categoría $\mathbf{C}$ es un functor $\mathscr{F} : \mathbf{J} \to \mathbf{C}$, para algunos (pequeños) indexación categoría $\mathbf{J}$-en la práctica, un diagrama impreso, sin el esclarecimiento de los comentarios, puede no ser suficiente para determinar lo $\mathbf{J}$ es. Por ejemplo, considere la tradicional ecualizador diagrama $$\bullet \rightarrow \bullet \rightrightarrows \bullet$$ Es "obvio" que el paralelo dos flechas no son iguales. Así que esta es una excepción a la regla general de que cada camino a través de un diagrama de entre un par de vértices debe ser igual. Sin embargo, es precisamente este convenio está en vigor cuando es "obvio" que el compuesto flechas son iguales. Pero estoy divagando.

Es cierto que pegar dos conmutativa diagramas a lo largo de un par coincidente de las rutas de los rendimientos de un diagrama conmutativo. Esta es, esencialmente, por una discreta deformación de caminos. Considere, por ejemplo, los diagramas de

$$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{f} & \bullet \newline {\scriptstyle g} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle h} \newline \bullet & \xrightarrow{k} & \bullet \end{de la matriz} \qquad \begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{f'} & \bullet \newline {\scriptstyle g'} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle h'} \newline \bullet & \xrightarrow{k'} & \bullet \end{de la matriz} $$ Supongamos $h = g'$. Con el fin de verificar que el diagrama $$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{f} & \bullet & \xrightarrow{f'} & \bullet \newline {\scriptstyle g} \downarrow & & \scriptstyle{g'} \downarrow {\scriptstyle h} & & \downarrow {\scriptstyle h'} \newline \bullet & \xrightarrow{k} & \bullet & \xrightarrow{k'} & \bullet \end{de la matriz} $$ también los viajes, tenemos que mostrar que los tres caminos entre la parte superior-izquierda e inferior-derecha de las esquinas son iguales. Pero esto es obvio, ya $k' \circ k \circ g = k' \circ h \circ f = k' \circ g' \circ f = h' \circ f' \circ f $.

La problemática de la operación es la adición de nuevas flechas, ya que la conmutatividad no es una propiedad local. Pero es posible hacer la vida un poco más fácil, por la observación de que podemos subdividir el diagrama en fragmentos, añadir en la flecha en cada fragmento y comprobación de la conmutatividad, a continuación, pegar los fragmentos de nuevo juntos.

Como para la existencia y unicidad: la única flechas que se garantiza que existe son los obtenidos mediante la composición de flechas. Nada más que eso requiere de conocimientos específicos de los objetos y las flechas en cuestión.

Answer 3

Creo diagrama persiguiendo no es nada, pero el uso inyectiva y surjective homomorphism y exacta de las secuencias. Si usted aprende a aquellos bien, usted puede encontrar a aquellos en los diagramas. Intentar reducir los diagramas en simples diagramas, morfismos o ya demostrado lemas.