Determinar los valores de $k$ para el cual la ecuación de $x^3-12x+k = 0$ tienen tres raíces distintas.

Question

Determinar los valores de $k$ para el cual la ecuación de $x^3-12x+k = 0$ tienen tres raíces distintas.

Puedo hacer esto con el cálculo, me preguntaba lo que podría ser la pura enfoque algebraico para resolver esto?

Answer 1

Las tres raíces son distintas cada vez que el discriminante con respecto a $x$, que en este caso es $6912-27 k^2 = -27 (k-16) (k+16)$, es distinto de cero.

O se piden tres distintas real raíces? Los valores de $k$ cuando se cambia entre el que tiene tres raíces reales y tener una raíz real será ceros del discriminante.

Answer 2

Interpretamos "algebraica" algo vagamente, con el fin de describir algunos de los materiales que una vez fue parte de la escuela de álgebra, pero ya no lo es.

Se ven un poco más en general, a $x^3-ax+k=0$. Recordar la identidad $$\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos\theta.$$ Queremos hacer nuestro cúbicos parecerse a $4t^3-3t=c$.

Haga esto haciendo el cambio de variable $x=\lambda t$. Entonces la ecuación se convierte en $$\lambda^3 t^3-a\lambda t +k=0.$$ Queremos tener $\dfrac{\lambda^3}{a\lambda}=\dfrac{4}{3}$. Resolver para $\lambda$. Llegamos $\lambda=\sqrt{4a/3}$.

Por simplicidad ahora volver a nuestros números específicos, aunque el argumento puede ser muy general. Con $a=12$, podemos tomar $\lambda=4$.

Sustituir en la ecuación. Después de un poco de manipulación, se convierte en $$4t^3-3t=-\frac{k}{16}.\qquad\qquad(\ast)$$ En comparación con la identidad de $\cos 3\theta$, $(\ast)$ tiene tres (no necesariamente distintos) soluciones iff $-k/16$ es el coseno de algo (lo que llamamos $3\theta$). Así que la condición necesaria y suficiente para $3$ no necesariamente distintos raíces real es de $|-k/16|\le 1$. Deje $3\theta=\arccos(-k/16)$. A continuación, las soluciones de $(\ast)$ $\cos(\theta)$, $\cos(\theta+2\pi/3)$, y $\cos(\theta+4\pi/3)$. Para algunos valores especiales de $\theta$, dos o más raíces coinciden.

Más general cúbicas puede ser manejado de la misma manera. Si por ejemplo estamos interesados en $x^3+px^2+qx+r=0$, en primer lugar hacer la sustitución de $x=y-p/3$. El polinomio resultante no tiene $y^2$ plazo.

La sustitución truco $x=y-p/3$ vuelve a Cardano. El trigonométricas solución de la cúbico en el caso de todos los bienes raíces se debe a Vieta.

Answer 3

Cuando $k=0$, $x^3-12x=0\Leftrightarrow x=0\text{ or }x=\pm2\sqrt3$, así que hay tres soluciones reales en ese caso. Gráficamente, esto significa que la curva de $y=x^3-12x+k$ es "curvy suficiente" para tener tres distintas real ceros. La simetría de las soluciones en la $k=0$ caso sugiere que hay dos valores de $k$ a las cuales vamos a tener 3 soluciones reales, a 2 soluciones reales, a 1 solución real, y que son opuestos. El caso límite, cuando tenemos 2 soluciones reales con uno que tiene multiplicidad 2, si el factor de la forma $(x-a)(x-b)^2=x^3-(a+2b)x^2+(2ab+b^2)x-ab^2$, por lo que necesitamos $a+2b=0$$2ab+b^2=-12$. Resolver el sistema de da $(a,b)=(4,-2)$ o $(a,b)=(-4,2)$, lo que dará $k=-ab^2=\pm16$.

Así, al $-16<k<16$, hay tres distintas soluciones reales; al $k=\pm16$, hay dos soluciones reales; y cuando se $k<-16$ o $k>16$, no es una solución real (y un conjugado par de nonreal soluciones complejas).

Answer 4

Supongamos que la ecuación de $f(x)=x^3-12x+k=0$ tiene una doble raíz de $y$. A continuación, fácilmente se deduce que $f'(y)=0$,$3y^2-12=0$, es decir,$y=\pm 2$. Así que la única candidatos para una doble raíz se $\pm 2$.

Si $y=2$ es una raíz de $f$$8-24+k=0$$k=16$.

Si $y=-2$ es una raíz de $f$$-8+24+k=0$$k=-16$.

Así que cuando $k \neq \pm 16$ las raíces de $f$ son distintos.