Demostrar esta identidad trigonométrica en el cuadrilátero

Question

Si $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ son los ángulos de un cuadrilátero diferente de $90^\circ$, de probar lo siguiente:

$$ \frac{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma+\tan\delta}{\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma\tan\delta}=\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma+\cot\delta $$

He probado diferentes transformaciones con el uso de $\alpha+\beta+\gamma+\delta=2\pi$ en la ecuación anterior, pero sin éxito. Me estoy perdiendo algunos no tan conocida fórmula?

Answer 1

De ello se desprende directamente de $\tan(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 0$ y la suma del ángulo de la fórmula para $\tan$ (ver aquí: Tangente de la suma usando polinomios simétricos)

El uso de esta fórmula obtenemos (desde numerador = 0) que

$$ \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma + \tan \delta = $$

$$\tan \alpha\tan \beta\tan \gamma+ \tan \alpha\tan \beta\tan \delta + \tan \alpha\tan \gamma\tan \delta + \tan \beta\tan \gamma\tan \delta$$

divididing por $ \tan \alpha\tan \beta\tan \gamma\tan \delta$ da el resultado.

Answer 2

Para $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ arbitrario, tenemos $\tan(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$ $$ = \frac{\left(\begin{array} {} \tan\alpha + \tan\beta+\tan\gamma + \tan\delta \\ {} - \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma - \tan\alpha\tan\beta\tan\delta-\tan\alpha\tan\gamma\tan\delta-\tan\beta\tan\gamma\tan\delta\end{array}\right)}{\left(\begin{array} {} 1-\tan\alpha\tan\beta -\tan\alpha\tan\delta-\tan\alpha\tan\gamma \\ {}-\tan\beta\tan\gamma-\tan\beta\tan\delta-\tan\gamma\tan\delta \\ {} + \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma\tan\delta \end{array}\right)} $$

En un cuadrilátero, tenemos $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 2\pi\text{ radians} = 360^\circ$. Por lo tanto,$\tan(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=0$. En consecuencia, el numerador debe ser $0$. Por lo tanto $$ \begin{align} & \tan\alpha + \tan\beta+\tan\gamma + \tan\delta \\ \\ & = \tan\alpha\tan\beta\tan\gamma + \tan\alpha\tan\beta\tan\delta +\tan\alpha\tan\gamma\tan\delta+\tan\beta\tan\gamma\tan\delta. \end{align} $$ Dividir ambos lados por el producto de cuatro tangentes y tienes el resultado.